CHAPITRE VII

jusqu’à un te: fini il TEEN (!)que le système de Dre Énisalant de trois équations à cinq variables

| AS = (1 + m2 A p?) dæ — du = 0, 0, re DE w> = (1 + au? + v?)dy — dv = 0, og = (1 + + v?)d£ — vdu + udv = 0 fût un système spécial, ou que son système dérivé fat de classe infé-

rieure à cinq. Orona

MES — dudv) À X 2 PS

PU EE —————————— ( 1 1+u ou ?

” 2u(dvdu —.dudv) HN A) 1+u +?

2(dudv — dudv) à

De = —— PRE CN NL USE DRENEr

(mod. w,, w+, 3). | 4 | « L à 5

Le système dérivé est donc formé des deux équations A, = 0); + VO3 = 0, Qe = &o — AGE) = O, .

d’où l’ontire | dx Le vdz + Bdu + Car, GA og RAR EN Ne he

B, C, B;, Ci ne Séséaiens que des variables u et v. Ainsi qu’on l’a remarqué plus haut (page 272), ce système est de cinquième classe, et par suite le système S est un système normal, non FRIFSeQIE RUES tement. | “fes Pour ramener le système S à une forme simple (IX), on peut modifier la méthode générale en observant que les deux premières équations du ù système forment un autre SYAIeNE, de classe quatre, dont l'équation

dérivée est ; (+ ms v?) (udx + vdy) = udu + vdv.

En posant =: | RU AT ES

(t) En effet, les cosinus directeurs de la binormale sont respectivement u ARS QU, es D Vue Voruge Vue ‘HT; y, LE ’exprimaient explicitement par des formules de la prie (27), u et v s’exprimeraient aussi explicitement, S AE

ne

cette équation deviént.

dB = cos «dx se . «dy, | ce qu’on peut écrire ne | dY = de” ra en posant X= x sin a —ycosa, (43) RO 3 pe Ne eE CA Ona ensuite | % à “S A #2 à

aX = sin adx — cos #+ “ (æ cos à + ; y: sin c)de. = (pb — Y)dz + sin «dx — cos «dy, |

étren RER dx si dy par leurs expressions tirées de. équations du système,

Ph e re — sin B Le —Y]da.

Enfin, la Ta équation du système S devient, après ce changement de variables, .

ds = sin? Pda,

Le système donné S est donc ramené à ee forme

dY =Xda, AX =[B— sin B cos — Y]da, ds = sin? Bd,

au . moyen du changement de étiabiee défini par les formules (G2) | et. (43). On obtient l'intégrale générale de ce système en prenant « pour

variable auxiliaire et en posant gt EC :

G Y=f@) X=/(#, B—sinpcos unes FR fl Va

et z est donné par une quadrature,

FAN À Rate LE de

B étant une. fonction de x définie par la troisième équation un où

AS à (ah est une fonction arbitraire O:

(4 Cf, nt Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Es Je série, +, XX VII, 1910, page 179.