MULTIPLICITÉS INTÉGRALES. — GENRE D'UN SYSTÈME DE PFAFF

81. Eléments linéaires d’ordre quelconque.— Nous allons d’abord définir certaines multiplicités formées d’éléments linéaires

issus d’un même point A(x,, &:,..…,æ,) de l’espace à n dimen-

sions. Considérons l’ensemble des éléments linéaires issus du point À dont les coordonnées (dx,, dx, ..., dæx,) vérifient ñn —p relations linéaires et homogènes distinctes ; nous dirons, en continuant à employer le langage de la géométrie, que cet ensemble d'éléments linéaires est un élément plan P à p dimensions. Par exemple, les éléments linéaires intégraux d’un système de Pfaff de r équations forment un élément plan à n — r dimensions (?). D’après les résultats classiques de la théorie des systèmes linéaires et homogènes à » indéterminées, tous les éléments linéaires contenus dans un élément plan à p dimensions peuvent se déduire de p éléments linéaires de cet ensemble. Désignons, pour abréger, par &,, 62, …, e,, les p éléments linéaires

(dx, dx, 9, de, 4), (dede)... de OS (dep) ral, dc pe

et par e— Xe, + Lez + Fes l'élément linéaire dont les n coordonnées sont |

Ldæi) + Ldxi® +... + 1,dxil?), PU CES PP Sn

Nous dirons que les p éléments linéaires e,,e,, ...,e, sont distincts s’il est impossible de trouver des valeurs des À; non toutes nulles, telles que les 2 coordonnées de l'élément ke; +... + 19

() Le fond de ce Chapitre est l’œuvre de M. Cartan, J’ai seulement modifié quelques démonstrations, en particulier celles qui font l’objet du n° 83,

(2) Pour la commodité des notations et des raisonnements, nous regardons un élément linéaire (dx, dæ,, ..., dæn) comme une multiplicité ponctuelle à une dimension. Un élément plan à p dimensions est le lieu de o?—1 éléments linéaires.

a NN a a nn du des TE MO { Hé à LA h $ Cri