CHAPITRE VIII. — MULTIPLICITÉS INTÉGRALES

qui renferme tous les éléments linéaires de P et tous les éléments linéaires de Q, et qui est contenu dans tout autre élément plan jouissant de la même propriété.

Supposons P défini par les p éléments linéaires distincts LAN PA es), et Q défini par les q éléments linéaires distinèts CA PET LD l'élément linéaire |

NA ER ë, + er, ere

lorsqu'on donne aux coefficients X;, \; tous les systèmes de valeurs

possibles, décrit un élément plan P + Q, qui est au plus à p + q dimensions. Il est à p + g dimensions si les p + q élé-

ments 6;, e"; sont distincts, c’est-à-dire si les deux éléments P et Q .

n’ont aucun élément linéaire commun. Lorsque P et Q ‘ont r éléments linéaires distincts. communs et » seulement, on peut supposer Pet Q définis respacuirement par les deux systèmes d’éléments linéaires | 7

P N . : (es; Cor ... +. Crs Er41, ss Ep} OL ts (EL OR Su ee rires dy.

Les p + q —r éléments linéaires e,,...,er, er44, .…., ep; r41, .…., e'g, sont distincts, sans quoi les éléments plans P et Q auraient plus

de r éléments linéaires distincts comumns. L'’é lement e écrit plus haut peut aussi être représenté par

Les

CR de ET + Urer + PRE MR à HpEp + LL ae CE Me NAS dem L'ae'g

et par conséquent décrit un élément à p + qg — r dimensions. Tel est, dans le cas général, le nombre de dimensions de l’élément plan P + Q qui vient d’être défini. .

Si les deux éléments plans P et Q sont contenus dans un autre élément plan æ à © dimensions, il est clair que l'élément P + Q

est aussi contenu dans #, et par conséquent on a, entre les dimen-

SiOns dé ces divers éléments, la relation p . q -r<w,ou

(Ses | P+i<s+r.

On déduit de là que, si deux éléments Bas Piet-0;:d res p ,

et g respectivement, RpPAHIEUNeNS à un élément plan d'ordre N, tel que p+ g>N, les deux éléments P et Q ont en commun un élément plan dont l’ordre est au moins égal à p+gqg—N.