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346 __. LEGONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
On démontrera de même, par voie de récurrence, que, si k éléments plans P,,..., Pr, de dimensions pi, ..…., px, ont en commun un élément plan d’ordre r, et sont contenus dans un élément plan à & dimensions, on a l’inégalité
(1!) | Epi L(k—1)s +r.
Toutes les fois que la somme 2pi est supérieure à (k—1)5,on peut donc affirmer que les X éléments P; ont en commun un élément d'ordre Ep; —(k —1)s au moins. |
Remarque 1. — Si les équations da élément plan à p dimensions ont été résolues par rapport à da sis .…, d2,, par exemple, il figure dans ces équations p(n —p) coefficients arbitraires, et deux éléments correspondant à des systèmes différents de valeurs de ces coefficients sont distincts. Un élément plan à p dimensions de l’espace à n dimensions dépend donc de p(n— p) paramètres arbitraires. $ |
Plus généralement, soit P. un élément à p dimensions; il renferme une infinité d'éléments Q à g<<p dimensions. Pour savoir de combien de paramètres dépendent ces éléments Q, supposons, comme tout à l’heure, les équations de l’élément P résolues par rapport à dx, ,,, …,dæx,. Pour avoir un élément Q à qg dimensions contenu dans P, il. suffit d'établir pe q relations linéaires et homogènes entre dx, .…, dæ,. On introduit ainsi q(p— gq) coefficients arbitraires, en supposant, par exemple, ces équations résolues par rapport à dxy41, …, dæp. Les éléments plans à q dimensions contenus dans un élément plan à p dimensions dépendent
donc de q(p —q) paramètres.
Par exemple, un élément plan à p —1 dimensions, contenu dans un élément à p dimensions, dépend de p—1 paramètres.
Remarque I1. — Soit P un élément plan à p dimensions, repré- ù senté par un système d'équations
OÙ 6), Op, se , sont n —p formes de Pfaff RE CE On Fonte
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