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intégraux s’introduisent naturellement dans la recherche des multiplicités intégrales du système de Pfaff. Supposons, en effet, que par le point A(æ,, ..…., æ,) de l'espace à n dimensions il passe une intégrale M, définie par les relations

05 FREE, es RE 0 Tous les éléments linéaires issus de À et appartenant à M, vérifient les n—p relations df, —0, :.., df,,—0, et forment un élément plan P à p dimensions. Nous savons d’ailleurs que tous ces éléments linéaires sont deux à deux en involution (n° 3). D. L'élément plan P est donc un élément intégral E,. Pour qu'il passe “ei par le point À une intégrale à p dimensions du système de Pfaff, ï il est donc nécessaire qu'il existe au moins un élément intégral E, issu du point A. Mais cette condition n’est pas suffisante. Pour trouver une limite supérieure de l’ordre des intégrales d'un système de Pfaff, on est donc conduit à chercher l’ordre maximum des éléments intégraux issus d’un point quelconque de l'espace. Soit e, ou E;, un élément linéaire intégral ; pour déterminer un : élément intégral E, passant par E,, il suffit de lui adjoindre un autre élément linéaire intégral e,, en involution avec e,. Il est clair en effet que tous les éléments linéaires ke, + Xe, sont intégraux, .. : ’ et que deux éléments linéaires quelconques Rey + Àses, Les + 6

| sont en involution, car les covariants bilinéaires formés avec ces

| FC deux éléments sont égaux, à un facteur près, aux covariants ".. . bilinéaires formés avec les deux éléments Es 69e DOI E, — — (€,, €2)

: 10 l'élément intégral ainsi obtenu. Se ue A * Pour avoir un élément intégral E, passant par E, il suffira de

; lui adjoindre un élément linéaire intégral e., n'appartenant pas

à E,, et en involution avec e, etes. Il est clair, en effet, que tous

les éléments linéaires Xies + Àe, + Àe3 sont intégraux, et on montre comme tout à l'heure que deux quelconques de ces élé- 4 Uk ments sont en involution. L'élément intégral E, ainsi obtenu sera TS représenté par (e,, e,, e;) ou par (E,, e,). La méthode est générale. Pr SoitE, — (e,, &, …, e,) un élément intégral d'ordre p, déterminé par p éléments linéaires intégraux distincts, e,, l», +, E9s deux à

deux en involution. Pour obtenir un élément intégral E,,, renfer-

mant E,, il faut lui adjoindre un nouvel élément linéaire inté-