CHAPITRE VIII. — MULTIPLICITÉS INTÉGRALES

gral e,,:; n'appartenant pas à E,, qui soit en involution avec les p éléments e,, &, .…., e,

S'il n'existe pas d’ élément, linéaire intégral satisfaisant à ces conditions, E, n'appartient à aucun élément intégral d'ordre supérieur à D.

D'une façon générale, un élément intégral E, est abtormhé par p éléments linéaires intégraux distincts, et Hop à deux en involution, e,, e,, …, e,. Un élément linéaire intégral &, qui est en involution'avec les p RSR linéaires e1, €, ..…., e, est en involution avec tous les éléments linéaires de l’élément E, qu'ils déterminent; nous dirons que & est en involution avec E,. L' ensemble des éléments & en involution avec un élément E, En aussi un élé- | ment plan H(E,), que l’on appelle l'élément ie de E,. Soient, AG effet, C1, Egs +. €) UN Système de p éléments lHnee distincts de E, . Les een polaires H(e,), ..., H(e,) de ces divers éléments linéaires sont évidemment des éléments plans, et H(E,) se compose des éléments linéaires qui appartiennent à à la fois à ces p éléments plans H(e;); c'est donc aussi un élément plan. L’ élément polaire H(E,) de l’élément intégral E, contient évidemment l'élément E, lui-même ; il a donc au moins p dimensions, se "El n° a que p HAUT il se confond avec l’élément E, lui-même. Il est important de remarquer que H(E, ) n’est pas nécessairement un élément intégral ; le cas où il en est ainsi sera examiné plus

loin (n° EU

| 83. Détérminstion des éléments intégraux. — SoitE,, un élément intégral d'ordre p—1, déterminé par p— 1 éléments linéaires distincts e:, Ego es Cp 4 Pour obtenir un élément intégral E, renfermant E,,, il faut joindre à E, , un élément intégral e,, non contenu dans E, ;, et en ebleito avec E, “AGet ant e, doit donc appartenir à l'élément polaire UC, 1)» et. AR De en adjoignant aux éléments e,, Bas dir et UD ETS. mente, appartenant à H(E,.,) et non contenu dns E,,, ondétermine un élément E, renfermant E,., . Si lé lément polaire H(E,;) se confond avec E,,, il n’y a pas d’élément intégral E, contenant E,,. Si H(E,;) est un élément à p dimensions, il forme lui-même un élément E, renfermant E,,, et c’est le seul élé-

ment E, contenant E,,. Prenons enfin le cas où l'élément polaire H(E, En) est à PD—1+rp. -dimensions () (» > 1). Cet élément H(E,;) est alors déterminé par les p — 1 éléments e,, TRAVEL PA et par r» éléments, ,, er, n'appartenant pas à Ep1, les p -— 1 + r» éléments

: r ! F Ci; Cas …… Cp—1° € 1» Co» .…. A

étant distincts, et tout élément & de H(E,.,) est de la forme

BE Ne PP On T PP ee INDE bre’ rh

Soit Q l’élément plan à r, dimensions déterminé par les r, éléménts'e sels, %, QUE cet élément Q n’est pas nécessairement un élément intégral, et n’a aucun élément linéaire commun avec E,,. Tout élément E, contenant E,, est déterminé par E,, et un élément & de H(E,,) n’appartenant pas à E,,, ou, ce qui revient au même, par E,, et un élément e’ de Q. En effet, l’élément à pdimensions (E,,, &), où & a l’expression écrite ci-dessus, est évidemment identique à l'élément (E,,, e!), où

NT AUS PE À Br Er,

Tout élément E, contenant E,, a donc un élément linéaire commun avec l'élément Q. Il ne peut avoir plus d’un élément linéaire commun avec Q. Si, par exemple, un élément E, avait en commun avec Q les deux éléments e/,,e’,, les p + 1 éléments Cys +. Ep y €, €} ne seraient pas distincts, contrairement à l'hypothèse. Les éléments E, contenant E,, correspondent donc d’une façon univoque aux éléments linéaires de l'élément Q à r, dimensions ; ces éléments E, dépendent donc de r, — 1 paramètres. | |

Lorsque r, est nul, l'application de la règle conduirait à une valeur négative pour le nombre des paramètres dont dépend l'élément E, renfermant E,,; nous avons vu que dans ce cas il n'existe pas d’élément de cette espèce. Sir, — 1, nous avons vu qu'il y à un seul élément E, contenant Eu

(:) M. Cartan désigne par 0 + 1 le nombre que je désigne par ry.