CHAPITRE VII. —— MULTIPLICITÉS INTÉGRALES

La proposition s’applique aussi pour p — 1. Un élément d’ordre zéro E, est constitué par un point (x,,.…,x,); l'élément polaire H(E,) se compose de l’ensemble des éléments linéaires intégraux issus de ce point. Ces éléments linéaires forment une multiplicité ponctuelle à 7, = n — r dimensions, et les éléments linéaires intégraux qui renférment E, dépendent bien der, —1 paramètres.

Prenons encore p —2. Les coordonnées d’un élément linéaire intégral en involution avec un élément linéaire intégral e, doivent vérifier les 2r relations |

Hi 0, RQ 0, (Ü—1,2,...,r).

à | PR PSE |

Si l'élément e, n'est pas un élément singulier, les r équations w'; —= 0 se réduisent à s relations distinctes, s étant le caractère du système (n° 71). |

Les éléments linéaires intégraux en oo avec e, forment donc une multiplicité ponctuelle à n — r —s dimensions, et. lfonan—r—$— 1; + r:,ou |

la —=N—T—S—I1.

Les éléments intégraux E, qui renferment e, dépendent donc. den 2T- S$ 3 paramètres. Si n—=r+s+2,1l y a un seul élément intégral E, passant par e, ; c’est, par exemple, le cas pour le système le plus général de deux équations à 6 variables (n —6, = ge), On le vénhe facilement au moyen de LÉ géométrique du n° 70. ; ( Si l’on a n << r + s +2, un élément e, non singulier n° appartient à aucun élément intégral E:. Tel est le cas d’un système de

deux équations à cinq variables et de classe cinq (n° 76);ona

Les PRE r’ vont en diminuant quand lindice p croît.

Soit E, un élément intégral à p dimensions et E,, un élément intégral à (p — 1) dimensions contenu dans E,. L'élément poire. H(E,) à 2 AA PRE Re ést évidemment contenu dans

0 S "ed 2 Re AT

l'élément polaire H(E, ï HA +r Abe car tout élément linéaire intégral en involution avec E, est aussi en involution avec E,:. On a donc, entre les PR A de ces deux éléments,

l'inégalité p + rosa KP —1L.+ lys OU (2) | rp2 pti À 1 .

Cette inégalité subsiste SHARE si 7,41 0; elles RARE aussi pour p—=1. |

La différence r, — ri, est au plus égale à r + 1.

Considérons, en effet, un élément E,, et l'élément polaire H(E,,), qui est déterminé par E,, et PA r’ éléments linéaires,

que nous représenterons par

€, € € | 9. à CRC DS QE 1 41P à

n’appartenant pas à Eva Un élément ES renfermant l’élément re y» ©) Sobtient en adjoignant à E, un élément = Mu +... + rte en involution avec €. Les paramètres À, …, kr, 4 doivent vérifier r relations linéaires qui ne

sont distinctes que si le caractère s du système est égal à r, et, comme ces paramètres y figurent d’une façon homogène, l’élément E,,, qui contient E, dépend au moins de LT Ar mètres distincts. On a done

lp 2 — PKPyui D c’est-à-dire |

Il est à remarquer que tel est évidente si Fe — r—2 est négatif ou nul. Elle s'applique aussi pour r, 1 —0.

Si les coefficients du système S sont quelconques, il est clair que les r relations, qui expriment que les éléments e, e' sont en involution, sont distinctes, et l'on a r,—r, {ir +1. Dans ce cas, le caractère s est égal à r, et l'on a bienr,—r,;=r +1.

Remarquons, une fais pour toutes, que les nombres r, allant en

diminuant, on finira par en trouver un ry}4=—0 (voir n° 85). Les nombres r, d'indice supérieur à g + 1 n'existent pas. On suppose