CHAPITRE VIII. — MULTIPLICITÉS INTÉGRALES

toujours dans les raisonnements que l Rite p est inférieur ou au plus égal à g. | | |

Il existe une relation d’inézalité très simple, entre trois nombres consécutifs 7, lotir lpoe DOI E,, un élément intégral contenu dans un élément intégral E, 1 = (E,, ©, €’). Les deux éléments E,—(E,,:) et E,—(E6,,,:") sont distincts et contenus, dans E,:,. Soient H(E,,), H(E,), H(E',), H(E,41) les éléments polaires correspondants de ces quatre éléments intégraux ; le premier a

- p—1+7r, dimensions, le second et le troisième ont p+r,;:

dimensions, et le dernier a p+1+7,,: dimensions. Tout élément e de H(E,;,) appartient aux deux éléments H(E,) et H(E,), inversement tout élément commun à H(E,) et H(E',) appartient à H(E, 1). D'autre part, les deux éléments H(E,), H(E,) font partie de H(E,,). On a donc, en vertu de la relation générale (1), entre les dimensions de ces quatre éléments, |

PR ATe4 SR APRES LPrORS

inégalité que l'on peut encore écrire

FAR | PRÉ de ne NE

La démonstration s'applique quel que soit p, pourvu que les nombres 7, lys Treo existent. La différence Ty — loyi ne peut. donc ets avec p.

La relation (3) est elle-même une conséquence de l'inégalité (4).

- Onaeneffetr; — Pas +1 I<r+ 1 ,etparsuiter, — Po LT 14 ae que soit BE

Remarque I. — Dans la définition du nombre r, relatif à un . élément intégral E,;, nous supposons que cet élément E,,, est un élément arbitraire de cette espèce. Pour certains éléments E, choisis d’une façon particulière, il peut se faire que les éléments linéaires en involution avec E,,, forment une multiplicité à plus de p—1+7r, dimensions. De tels éléments sont appelés éléments singuliers. Un élément E, (x, x,0, Ty °) peut lui-même être singulier, si, pour les coordonnées de ce point, tous les détermi-

nants se ordre r déduits du tableau des coefficients du système de rés G. ‘Prob. AA | ” 23 154

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Pfaff sont nuls. Les éléments linéaires intégraux issus de ce point forment alors un élément plan à plus de 7 — r dimensions. Remarque II. — Soit I} le nombre de paramètres dont dépendent les éléments É)4, qui renferment un élément non singulier E,, en supposant bien entendu qu’il existe de tels éléments, c APT que p-+ q est au plus égal à g (voir n° 85). Les éléments Hbc qui renferment l’élément E, dépendent par hypothèse de LÉSE de paramètres. Chaque élément non singulier de cette espèce appartient à son tour à oo +411 éléments Epig. Le nombre If est donc au plus égal à Le Fa pig — 13 mais, pour avoir la valeur de 15, il faut diminuer le nombre eee du nombre des paramètres dont dépendent les éléments E+7-41 qui renferment l'élément E, et appartiennent à un même élément E)+4. Pour évaluer ce dernier nombre, il suffit de raisonner comme plus haut (page 350). L'élément Ep+g est déterminé par les p éléments e:, €, Pen ê, qui déterminent E, et par g éléments e’,, …, e", distincts des premiers. Soit Q l'élément plan à g dimensions déterminé par les q éléments linéaires ei, ..…., e". Un élément E»+4-1 contenant E, et. contenu dans E,+4 est déterminé d’une façon univoque par un élément à g—1 dimensions contenu dans Q. Ces éléments Ep+g1

dépendent donc de g — 1 paramètres et l’on a

BE + rpg 1 —(g—1) = + rptg —d- De la formule pe = ry3, — 1, On déduit donc par récurrence la formule générale , (5) = rp4t TE rpdg= 142 ++ 9]

= Tp+41 He + rpg — LED 2.

En particulier, les éléments E, qui contiennent l'élément E, dépendent de |

(6) | mm + Pie r, — PEN

paramètres.

De ce qui précède VERRE la possibilité, au moins théorique, de déterminer les nombres r, par des calculs linéaires, et de former

les équations des éléments intégraux des divers ordres. Nous