CHAPITRE Vill. — MÜLTIPLICITÉS INTÉGRALES

allons indiquer, au paragraphe suivant, comment les calculs peuvent être effectués.

84. Calcul des nombres r,. — Tout élément intégral E, est représenté par un système de 7 — p relations

(Ep) Di PEN, D? — 0; +) Dpp — 0;

Gi; Dos... w, y tant 2 — p formes de Pfaff distinctes ; les r formes ©,,.…., © qui figurent dans les équations du système $ font partie des précédentes, ou en sont des combinaisons linéaires.

Pour qu’un élément linéaire intégral (ôx,, ..…., dx,) soit en involution avec l'élément E,, il faut que les r équations

Ui— 0, ...,0p— 0

soient vérifiées par tous les éléments linéaires (dx,, …, dx,) qui satisfont aux équations de E,. Si on ordonne l’équation w'; = 0 par rapport à dx,, .:., dæ,, elle prend la forme

Di Qa($)dx, + Qa(ô)dx, + …. + Qin(ô)dLn — 0,

RÉ SANTE étant de nouvelles formes linéaires en d%1, d&,, ..…., dx. Pour que cette équation w°; —.0 soit une conséquence des équations de E,, il faut et il suffit que tous les déterminants d’ordre n — p + 1 déduits de la matrice formée par les coefficients de

dæx,, .…, dx, dans les n—p + 1 équations

soient nuls. En prenant successivement 2 —1, 2, …,r, et en adjoignant les r relations w;(9) —0, on obtient N équations de Pfaff distinctes que doivent vérifier les dx: pour que l'élément correspondant soit en involution avec E,. Il suffira de remplacer dans ces équations dx; par dx; pour avoir les équations de l’élément polaire H(E;). Cet élément ayant au moins p dimensions, puisqu’il contient E}, le nombre N est au plus égal à n—p; si l’élément E, n’est pas un élément singulier, on a, d’après la définition du nombrer,,,, n—N=p+r,,yet parsuiter,,,—=n—p—N.

Lorsque Îes équations de E, sont résolues par rapport à n — p des différentielles, on peut opérer plus simplement. Si, par exem-

ALLO AE EC Mo d * k , PAC MR dE Gi <:

h VE

ple, on a résolu ces équations par rapport à CELENE SET dx, TER remplaçant dæ,4; ++.) dx, par leurs expressions au moyen de. dax, …, dæp. dans les équations w';—0, on aura les équations de H(E) en égalant à zéro les coefficients de dx, ..., dx) dans les résultats de cette substitution, et en adjoignant les équations Wi—O. : - | |

Puisque l'élément sans H(E») contient l'élément Ey, les

—n—p—r,,, équations de cet élément sont de la forme

(n° 81) see

Ajwi.+ Ajïom ne ... + Ai, n—pOn—p = 0, (123, 2 BYE

Tout élément E, . renfermant Ep est inerte représenté Fe un système d’ équations de la forme |

4 "509, Le Onp « , on Xe

bnp

Pour que l'élément plan : àap+i dimensions représenté par. ces équations soit un élément intégral E,,,, il faut etil suffit qu dhes soit contenu dans l'élément H(E}), c’est-à-dire que les n —p paramètres À vérifient les N relations linéaires distinctes

Anh + Amd fi .… + Ai, ETS y= 0, (RS 2, N}.

Il ya donc. n—p—N— r)x1 de ces paramètres qui restent arbitraires et, comme ils figurent d’une façon homogène dans les équations de E,,,,, on voit bien que ces éléments E,,, dépendent bien de r,,, — 1 paramètres arbitraires, comme on l’a reconnu

directement.

L'emploi des formes symboliques de différentielles permet de former d’une façon très symétrique les équations de H(E; ). Puisque Ey est un élément intégral, on a les r congruences

&/; + O, | (mod. TD15 V9, .., On p)) que l’on peut écrire ,

&'j = Ÿ Annonisk + QT És . + Sp (es 125306 7 h,k | 6

Ta, Ro, Rp étant des formes de Pfaff qui forment avec wi, Ga, ..., On p un système de n (orines distinctes, et les IPS Qi étant des combi-