CHAPITRE VIII. — MULTIPLICITÉS INTÉGRALES.

naisons linéaires des formes 4, ..., m,,. Les éléments linéaires inté-

graux en involution avec E, vérifient les relations

EE œi(d) — o, Qk(d) =0,.

et inversement. Il suffit de remplacer à par d pour avoir les équations

de l’éiément polaire H(E,). On vérifie bien que les -premicrs membres

sont des combinaisons linéaires de m1,..., ©». Les conditions qui expriment que les »—p équations &:—0o représentent un élément intégral de S expriment aussi que le système S fait partie du système dérivé du système de Pfaff Si des n—p équations wi —0. La recherche d’un système S, jouissant de cette propriété revient donc à la détermi-

nation des éléments intégraux de S. | | SEE

L'application de cette méthode permet de déterminer de proche en proche tous les éléments intégraux d’un ordre quelconque d’un système de Pfaff. Supposons, pour fixer les idées, que le système donné puisse être résolu par rapport à ŒE lilés,: 3ddr- UR aura les équations générales d’un élément intégral du prèmier ordre E, en adjoignant aux équations de S les n— r — 1 équations

Tr 42% dEmtet mÈCLET dEn

l 4e )e re RE

où À, .. , An=r Sont arbitraires ; pour des valeurs quelconques de ces paramètres, on aura un-élément non singulier.

On peut ensuite, en appliquant la méthode générale, former les équations d’un élément E, contenant E,, et cet élément E, dépendra de r,—1 nouveaux paramètres. En continuant ainsi, on

obtiendra de proche en proche tous les éléments intégraux à un

nombre quelconque de dimensions. On n’est arrêté dans l’application de la méthode que si l’on arrive à un élément E, qui est identique à son élément polaire. Il est clair que ce procédé permet de former les équations de tous les éléments intégraux, singuliers ou non singuliers. $e à

. Siles paramètres dont: dépend un Hénent E, ne satisfont for aucune relation d'égalité, cet élément n’est pas singulier ; si ces

paramètres sont tels que l'élément polaire H(E;) ait un nombre de dimensions supérieur au nombre normal pour un élément quel-

conque d'ordre p, cet élément est un élément singulier. | Il est évident que l’on n’a que des calculs linéaires à effectuer, et

les coefficients des différentielles dæ; dans les équations de l’élément E, le plus général à p dimensions sont des fonctions ration- nelles de certains paramètres. Le nombre des paramètres distincts dont dépend l’élément E, a été calculé plus haut (n° 83).

85. Genre d’un système. — Considérons la suite des nombres r.,, Don ses Tprore qui ont été définis plus haut, et qui vont en diminuant avec l'indice, et soit r, le dernier de ces nombres qui soit différent de zéro. Le nombre g correspondant s’appelle le genre du système; pour un système de genre g, la suite des nombres r, s'arrête donc à r, et l’on a la suite d’inégalités

(7) Ft Pr Ty 1 Ty oi

Le nombre suivant 441 serait nul; l'élément polaire d’un élément Ey est à g dimensions seulement et se confond avec E, luimême, si cet élément ne satisfait à aucune condition particulière.

Il est facile d’avoir une limite supérieure du nombre g; en effet, puisque les nombres r, vont en diminuant d’une unité au moins quand on passe d’un nombre au suivant, on a ry <r1 —(g — 1), ours LAn+1i-r— g,et, comme r, est au moins égal àäun,ona g<Kn—r, résultat évident a priori, car il ne peut y avoir d’éléments intégraux à plus de n—r dimensions. Dans le cas où g—=n—r, il passe un élément E, - par chaque point de l’espace et un seul, et le système est complètement intégrable, On peut confirmer ce résultat en observant que g ne peut être égal à n —r que si toutes les différences r» — rai sont égales à l'unité. En particulier, on doit avoir 7, =7; + 1, et le caractère s doit être nul. Inversement, si le système S est complètement intégrable, deux éléments linéaires intégraux quelconques sont en involution et l'élément polaire d'un élément intégral d'ordre quelconque H(E,,,) se compose de l’ensemble des éléments linéaires intégraux issus de E,.On a doncp—1+rn =n-r,ourp=n—r-—p+t1. Les nombres r;,r,,r;, .… vont donc en diminuant constamment d'une unité jusqu’au dernier ry, où g—=n—r, qui est égal à l'unité. |

On verra un peu plus loin (p. 362) une limite inférieure du nombre g.