CHAPITRE VIII, — MULTIPLICITÉS INTÉGRALES

En résumé, pour un système de Pfaff quelconque, il existe une suite de g nombres entiers positifs décroissants, tels que : Par un point arbitraire E, de l'espace, il passe LT dt ments E, ; | 3 Tout élément E, non singulier appartient à 27 éléments E, ;

# » md . , “ La —1 , # Tout élément E, non singulier appartient à © 3 élémentsE, ;

- L] L L2 » L . « » L° ro . - + E L2 . L2 LA L] »

Tout élément Ey-1 non singulier appartient à 97 éléments Es, si ry >1, et à un seul élément Eg, si rg —=1 ;

Un élément E,; non singulier n'appartient à aucun élément Eg11. | .

Cela ne signifie pas qu’il ne peut exister d'éléments intégraux E,, à plus de g dimensions; mais, s’il existe de tels éléments, tous les éléments Ey qui y sont contenus sont des éléments singuliers. Nous dirons aussi qu’un élément E,,, dont l’ordre m dépasse le genre du système, est un élément singulier.

Considérons, par exemple, le système de deux équations (n° 76)

on a, pour deux éléments en involution,

ÉD 2 5 w', = 42,0%, — dx,0%, = 0,

w', = dr,8&, — dx,èæ, = 0.

Ces deux équations, où l’on regarde 9x,, dæx,, dæ, comme les indéterminées, n’admettent pas d'autre solution que

di dx « 0x

NE du — dr dr

si dx, n’est pas nul. Ce système est donc de genre un, et un élément intégral arbitraire E, n'appartient à aucun élément E,. Mais

si l’on a dx, —0, les deux équations w',— 0, w',—0 se réduisent à une seule 3%, — 0. Par chaque point de l'espace il passe donc un

élément du ‘second ordre E:, défini par les équations dx, — 0,

dæ, = 0, dr, — 0, quoique le système soit de genre un. .

D'une façon générale, supposons que par un point quelconque de l’espace il passe un élément intégral E,, et un seul ; le genre g du système est au plus égal à m et, s'il lui est égal, le système est

complètement intégrable. D'abord, il est évident que le genre g ne peut être supérieur à mn, car, si l’on avait g> m, chaque point de l’espace appartiendrait à une infinité d'éléments E,,. Si l'on a g =m, l'élément E,, qui passe par un point de l’espace, doit contenir tous les éléments linéaires intégraux issus de ce point. On a donc g—=n—r,et nous venons de remarquer que, dans ce cas, le

système est complètement intégrable.

Ceci conduit à généraliser la définition donnée plus haut (no 83) des éléments singuliers. M. Cartan dit qu’un élément E, est singu-

lier s’il appartient à un élément Eg+1, qu'un élément E,-1 est singulier s’il appartient à plus de "9" ! éléments Fy, ou si tous les éléments E, auxquels il appartient sont singuliers, … qu’un élément E, est singulier si par ce point passe plus de œ’/17 éléments E,, ou si tous ces éléments linéaires sont singuliers.

Les conditions auxquelles doit satisfaire un élément intégral singulier étant dés conditions d'égalité, il est clair que l’on peut

toujours, et d’une infinité de manières, trouver une suite d’éléments intégraux :

Es E, 20 E,

tels que chaque élément appartienne aû suivant, et qu'aucun d’eux ne soit singulier. Si tous les éléments d’une multiplicité inté-

grale M» (p<g) sont des éléments non singuliers, on peut affirmer que par M, il ne passe aucune intégrale à plus de. g dimensions. Nous verrons un peu DAS loin que par LD il passe au moins üne Intégrale My.

: 86. Caractères d’un système. — Soit S un système de genre g. De l'inégalité (4) on déduit que les nombres 7, —r,— 1, DT TRE Liste her le Lg — 1, dont aucun ne peut être

( négatif, Moment une suite décroissante

(8) En

la Heron inégalité s'obtient en faisant AT q—1, rgHi = 0 dans

la relation (4).

Les nombres de cette suite ont été Abc par M. Cartan CRE

LT Fr 4 À à s- . e br caractères successifs du système $S, et on les désigne par la E- - î .\ Le | lettre Nue sé k = lire la A, 7 So = lo ns + Ta ee 4h | ,

1 SL RL Pos qi lee PE SRE rue

et les ne (8) peuvent s’écrire d’ une façon abrégée : @ a>a>n>. >uupui

see le premier caractère, est identique au caractère s défini plus haut, s, est le second caractère, … Il y a g caractères pour un sys-

Eu | - qu'às, sont nuls aussi. - : Aa RSR les formules (9) membre : à to il vient

| ++... +8 =n—g=n—r—g, = et ten en tre | | à | Go) < g=n rs ++. PET

Si « on pose r=S$,, cette formule devient se

D ee int ou

Prenons, par exemple, un système de deux équations à 6 variables sans élément caractéristique. On a n—6, r—2, s,— »,

2 r=n—r—=k, ail SI, et par suite g —2, S—0.

Le système est de genre deux, comme on devait s'y ‘attendre d après ce qui a été dit antérieurement (n°s 70, 83).

"#6 tères sont nuls, et inversement. Il suffit d’ailleurs que le premier | __ caractère soit nul pour que tous les autres soient nuls aussi,

A prus égaux à r, et l’on a les inégalités

"he r di EE r, —r<r+ L, Rest sn 14 nr enpl ee I el Hd