CHAPITRE VII. — MULTIPLICITÉS INTÉGRALES

Le plus petit nombre entier v tel que le caractère correspondant soit nul est le genre vrai du système.

Soit E , un élément intégral non singulier ; l'élément polaire H(E,1) est à r, + y —1 —g dimensions. Get élément H(E,;) est un élément intégral E,. Soient, en effet, s, e’ deux éléments linéaires quelconques de H(E,;) n’appartenant pas à E,1, E, et E’, les deux éléments E, = (KE, 4,e), E°, = (E,4, e’), les éléments polaires H(E,), H(E',) sont à y + r,uy—=v—1 + 7,=g dimensions, et sont contenus dans -H(E,;) qui a le même nombre de dimensions. Ils se confondent donc avec H(E, 1) et par suite sont identiques, de sorte que deux éléments quelconques #:, «’ de H(E, ;) sont en involution. Par tout élément intégral E,, non singulier, il passe donc un seul élément intégral E,, qui se confond avec l'élément polaire H(E,;); il né peut ÿ avoir un autre élément E',; contenant E,,, car tous les éléments linéaires de E', doivent faire partie de H(E,;).

nr supposons que l'élément polaire d’un nent inté-

gral E , non singulier soit un élément intégral E, (g > v). En

v—1 ajoutant à E,, un élément € de E, n’appartenant pas à E,,, on obtient un élément intégral E, = (4, «), dont l'élément polaire H(E,) se confond avec Ey. On a donc aussi

ds EN lee ONU CAR et par suite $, — 0; on démontrerait directement de la même

façon que tous Les caractères suivants sont nuls. Le genre du sys-

tème est g puisque tout élément linéaire en involution avec E, appartient à cet élément. Le genre vrai est au plus égal à »,

Car 8,4» $,9, +, peuvent aussi être nuls.

Les systèmes de Pfaff pour lesquels il existe des caractéristiques sont de première espèce. Supposons que chaque point de l’espace soit l’origine de y éléments linéaires caractéristiques distincts, c’est-à-dire en involution avec tous les autres éléments linéaires intégraux de même origine (n° 66). L'ensemble de ces éléments caractéristiques forme un élément plan à y dimensions,

Y Soit g le genre du

qui est évidemment un élément intégral E

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