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dans les r équations du système S

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système ; tout élément E, non | singulier contient l'élément E, de

même origine. En effet, si e était un élément caractéristique n appartenant pas à E,, l'élément E-11—(Ey, :) contiendrait E,. Si E, se confondait avec E., tous les éléments linéaires intégraux seraient caractéristiques, et le système serait complètement intégrable. Soit g—7y+g'; un élément E,; non singulier est déterminé par E, et par g léléments linéaires non caractéristiques lys Car: egt. 1” ren Ey —(e,, e,, ..., e)est un élément intégral contenu -

dans E,, et son élément polaire H(E4r) se confond avec E,, car, s’il contenait un élément € n’appartenant pas à Ey, l'élément (E,, s) serait un élément intégral E,}41 renfermant E,, ce qui est contraire à l'hypothèse. ns

Nous venons de voir que le cs atteré Sa'41 sera nul, et par PR g'+

le genre vrai d’un système de genre g est au plus égal à

g'+i=g—y+1, si ce système gamer des RAS

‘caractéristiques à ÿ dimensions.

On a vu plus haut que tout système de Pfaff à n variables et de classe n—%—n' peut être écrit de telle façon qu'il n’y figure que n' variables et leurs différentielles. Pour ne pas multiplier les notations, nous supposerons ce changement de variables effectué, de telle sorte que les n' variables æ,, x&,, …, æn figurent seules

Wj, — 0, W, — O0, me Ur —= O.

Ce système S peut être envisagé de deux façons, suivant qu’on le considère comme définissant une famille d'éléments linéaires E, dans l’espace à n dimensions (x,, …., æ,) ou comme définissant un système d'éléments dans l’espace à n! dimensions (x,, æ:, ., Lni). Quand le Se sera envisagé à ce point de vue, nous le désignerons par S’.

À tout élément intégral E, de S correspond un élément E, et un seul de $', sauf si l’on avait, pour cet élément E,, dx, — EN NRA k dxn = 0. Inversement tout élément intégral E, de S’ est la projection dans l’espace à n' dimensions de œ7 éléments intégraux E, de S, car on peut choisir arbitrairement les valeurs de dx,,,,.…. dæx,. Plus généralement à tout élément intégral E, de S ed dite

DS NU CHAPITRE VIS MULTIPLICITÉS INTÉGRALES, : 969: 2e

LEE ue SN 4 E" : k r = ê ré : : | ESS es, ?

un élément intégral E’, de S' si les coordonnées de cet élémentE, a , - x É É MR A LT | LAS 2e ne vérifient aucune relation d'égalité. Soient | TE AA > : - Fe dr: .. dus | ÔCn'+1; .……, ÔT= ? 7 4 - ‘38 s les coordonnées d’un élément ae e du système S en involution c avec E, ; l'élément correspondant e” du système S' (22, +. On!) TE $ est en involution avec E! D. ; - | A Le lieu de l’élément e est un élément plan H(E)à p “ rpdimen- -. : ÈS sions dans l’espace à r dimensions ; le lieu de l'élément e’ est un SG è LAS RE élément plan H(E°) à p + r' ot dans l’espace à n ’dimen- re P P P P LES sions. Mais la différence lp — Th doit être égale à n —n'—7Y, car HITS les relations qui expriment que l'élément e est en involution s Ve ; té Le og A | | E Le < avec E, ne renferment que dx,, .…, dÆ&n, tandis que dXr'41, …., 0x, A restent arbitraires. ee +. HORS : Mers PARTS 4 rs e On a done, pour le système S', PL Æ ME os jm a 7 pret à : k À Nr <È DUT ST ... Sp — Sp: à À Le genre du système S' est Hiue de y unités, mais les caractères s' 24 RENE pee ” sont égaux respectivement À Sy3 82». Sy" | - Considérons, en particulier, un système formé d’une seule S équation à 2p + 1 variables et à coefficients quelconques. IL suffit 4e F Bu de faire, dans les formules enrales du n° 86, NID ATEN; EX MÉONREE | le genre g est égal à p;et l’on a sa D TORRES | # er. A RTS PEN li 2D; | Canoe À QE lp = 2; ; SA KES Re PER 2 ME RATE NE Le Une At de Pfaff à n variables et de classe 2p +1 < fl ;L{ 0 NN (s' forme un système de première espèce pour lequel on à = : #7 à g=n—p+i à AE Les p premiers caractères sont égaux à ue et les Juivants - MS sont nuls. : | # rs 88. Théorème d’existence. — Après avoir étudié la compo- Re | si re 1 Me Le as D sition des éléments intégraux d’ordre quelconque, 1l nous reste à SE. ve examiner la question essentielle. Etant donné un système de Ac

mt EN à" ET Jun

Pfaf S de genre g, peut-on assembler les éléments intégraux d'ordre p (pq) de façon à obtenir une multiplicité intégrale M,, et quel est le degré d’indétermination du problème ? Nous ne nous occuperons que des intégrales M, non singulières, c'est-à-dire dont tous les éléments E, ne sont pas des éléments singuliers.

Il est évident, ainsi qu’on l’a déjà remarqué à plusieurs reprises, que le système S admet une infinité d’intégrales à une dimension M;, dépendant de fonctions arbitraires d’une variable, qui s’obtiennent par l'intégration d'équations différentielles ordinaires, quand on a choisi ces fonctions arbitaires. Comme toute intégrale M,,, renferme une infinité d’intégrales M,, on est conduit à se poser le problème inverse, c’est-à-dire à rechercher les inté-

grales M,,, passant par une intégrale M,, le nombre p étant sup- ‘posé inférieur à g. Le théorème suivant, dû à M. Cartan, est P T )

fondamental.

Par toute intégrale non singulière M,, il passe au moins une

intégrale M,,4, st le genre du système est supérieur à p. Il en

passe une et une seule, si chaque élément intégral E, non singulier | appartient à un élément intégral E,,, et à un seul. Il en passe une infinité dépendant de bp fonctions arbitraires de p + 1 arguments, si chaque élément intégral non singulier E, appartient à 2° éléments intégraux E,,,1.

. . “ , £ LA | | Le nombre p est identique à r,,1 —1,r,4, étant le nombre

défini plus haut (n° 83).

Soient Eh? un élément particulier non singulier de M,, et 1°, …, 2,9 les coordonnées du point de l’espace à n dimensions d'où est issu cet élément, Comme nous ne considérons que des multiplicités analytiques, nous pouvons supposer que, dans le voisinage de ce point, z—p des coordonnées d’un point de M, sont des fonctions holomorphes des p autres coordonnées, que nous appellerons æ, æy, .…., Æp, de sorte que la multiplicité M, est

représentée par le système d'équations (12) Lpya = Ps ++. Lp) Lpt2 CAGE css Dp}r à 8 3 Da = PnepU vee) Tp).

Toute multiplicité M,., passant par M, peut être définie en se donnant %,41, .…, &, en fonction de x, ..., x), et d’une autre

ET CR ee). CHAPITRE: VII. — MULTIPLICITÉS INTÉGRALES. 3607 1 PS ARR

1 variable x', ces fonctions étant telles qu’elles se réduisent aux RES précédentes +, ©,, …, quand on prend pour x’ une fonction conve- Re. Ar LE DAS, nable de x,, &,, .…, æp. Il est évidemment permis de supposer que nn: cette variable x’ est une des variables x, ,,, .…., æ,. Nous suppose- ; 54 rons, pour fixer les idées, que c'est æ,,, et, pour plus de clarté + 100 LAS dans les notations, nous remplacerons &,,, par (2, …, &p) +, te L ne et nous désignerons les variables x,,,, ..., æ, par £,, 2, .…., 2, RL. CR. Go!

le nombre m étant égal à n — p— 1. Avec ces notations, les varia- 7:70 bles qui figurent dans à système S sont 1:10 = < "ed . ‘ | ÿ S + 72 | è re a …… Lp; TL, Zi Zos ..……, Zn 72 ; a F4 ps + la multiplicité intégrale M, connue est représentée par le système d'équations | | (13) TL ee 0, Fi Zà —= ACTE s…… Lp); St ., Em = PL …., Lp)}; ; 3 ne et toute multiplicité M,,, renfermant M, est à son tour représentée be: par les m équations = | | 442 (14) È Z1 — (x, Li: .., Lp); .. es == P,(T, Lis … Lp); É 2 DE F . ; , . n É . À 2 É les m fonctions ®,, …, ®,, devant se réduire à ,, ..…, o,, respecti- 2€ vement peur æ—0, et étant holomorphes dans le domaine du point æ=— 0, Li = Li : NT . 2 de 1 Pour exprimer que les équations (14) eichen une inté- Be grale M,:1, on peut écrire que tout élément E,., de cette multipli- a | cité est un élément intégral du système. Or tout élément Ep+: a: de M;+, est défini par les p +1 éléments linéaires distincts ETES DR A CAR UP Rp PME ri er à EC NE EEn6 0 VON SI SS CRAN NÉE A ST PET. LR Re de dx dX2 D Da CRC ÉTT SNS Re À li De te — FES DR cr VOS COR ne PARTS | … ‘TR 7e) k LE (s) (e] (e] d£Z4 dm * 25 : : ui ai\ dT1 T1 25 4 o, di dm, de, __de__ dns dre 4 nn P 0 : NÉE ra I [e) d£1 L'OPERAE, re dE L à 4 5 Ces p + 1 éléments linéaires doivent être intégraux et deux à. ++ 100 deux en involution. Pre | | 2160 1 %S é 4 “e / =” 4 : L D:

ent « | 20 RESAR 2 r.: n'HNEES ar Ve # DER, -

__ Soient | Rat F4 EN MT UE ET ÉCORRE Le. ©) — ardx + ardt +. + akpdLp + bidz, + +. + Hntlenee DU : | UE 17 Tr)

LE les r équations du Ro Ve Nous poserons : CR LA FORT CE

à Em :

| QU = ar + be DE RER RE “4 : rèt ds A oi SA | D£ ; | ; i é

les £(p Æ 1) équations Q A Q;4) — 0 suffisent pour exprimer

- que M4, est une multiplicité intégrale du système. Mais on peut leur adjoindre immédiatement celles qui expriment que les p + 1. éléments €, e,, …, ep sont deux à deux en involution; et qui se À déduisent des premières. Ces LÉRARES RS s’écrire sous forme

abrégée ÿ REP : 0 (x) SO HET MERE | | SAS Got) = mes ab Sn (Æ—1,2,.., 7), OU QE) 72 25 SES se Sr um 0 #4 (253 = I, 2, ce) Ph

= : * : ee

le symbole en is à une dérivation par rapport à ti, quand on y regarde Lis Los cs E, COMMe-des fonctions des P + variables LR indépendantes æ, &,, .…., Æp- Nous partagerons ces équations en x deux groupes, le premier ne renfermant PSE les Oo | 7 2 de OM: 20) ie Le (I) = 0; | ag t— EPA eue 0, Br, 2550 DIN

les équations de ce: groupe Sushi que les P éléments e,, Ce -.., €p Sont intégraux et deux à deux en involution. ; RTE Les AURSENES. du second groupe | |

20,,(4) sa (R) x DRE EEE ne (R) == 0 RP ANUS &. c (1) 0, Ov GE TEE ter ST DNS #

expriment que e est un élément intégral en nee avec les P éléments linéaires e,, 2, .…., ep. - d

Si les relations du groupe (1) sont vérifiées, l'élément : à 5 ions Er sions défini par les p éléments linéairese,,e,, …,e, est un élément

RDS Acer REA | CHAPITRE VII, — MULTIPLICITÉS INTÉGRALES. 9369 intégral E» du ne S. Les équations (II) que doit vérifier l’élé nS ment e pour former avec E) un élément intégral Go sont donc E | compatibles si les équations mn) sont vérifiées et se réduisent à <: - m—p équations distinctes, puisque l'élément e doit dépendre par De LEE hypothèse des p paramètres arbitraires. Ces équations (IT) peuvent , AE me re DE, #5 donc être résolues par rapport à m —p des dérivées a RER x a : #4 | 5 g' dE : Lee on dZ | ee m—p+1 dZ A = F,[X, &i,..., lp, £ —— " | 1 QU ARE P CE RE OS PQ ve d È dx LEP DR. à ’ s * us ar | j ù Fe AURA 25 Il’ 5x = Fate.) j %: # Da 2 * - LE au | "20 | ere D ee. Le Rise” AE à (...), les seconds membres dépendant des variables æ, æ,, .…., æp, des RASE Lis ce En t de leurs dérivées par rapport aux varia- 25 40 à ne +4 2z | 52 TAÎENSS . “bles tres) Xp, et ibn des dérivées met, 2m et ces SEE pe dL' : TX 6 be ; | seconds membres sont Hoi par rapport à ces dérivées. : mr --.-Cesystème (I) est un système de forme normale, dont on su p- A # D pose, bien entendu, les seconds membres holomorphes dans le FEV ÉLTEEN voisinage des valeurs initiales des arguments. ORNE | LT . Prenons pour Em—p+4 *" Zn des fonctions arbitraires | rs : LES ” » - ge « " Pn—p41(e Lis .…. ph AE Pa(æ, RTE .., Tp) t w4 É , pe 2 < des p + I variables z, BA es Tps se réduisant, pour T— 0, aux <Fs a

m —p fonctions SD van F$ HE 3 É #2 k es Li» …. xp), FS .…., CAE RICE Lp), 1 à + > | E LE 1 et ARR dans le voisinage de æ— 0, TX, ; es Lg = Top) 4 DE.

Mr 7eLRes équations ar) admettent alors un système d'intégrales holo- DT. morphes LR OR EEE ARS | ER pe Er : Zi = (x, Li, Ni Æp), ses LE = = : Pnp( Tr, …. Tp) : , Es. TRS CET QU CRE > | DUR à er à à 1 Fa 5 é FREE HSE DER L |

ré

sine æ + dx, Il en est de même, pour æ+0x, de

se réduisant, pour æ—=0, aux m— p fonctions (x, ..…, Æp), ..…,

Pm—p(T4 .…, &p). Les multiplicités Mhp+1 représentées ‘par les

formules

(15) Fe BUS, Lie hit es ei ea OL

passent bien par la multiplicité M,, et, d’après la façon dont on a obtenu ces multiplicités M+4, il est clair que toute intégrale M,141 du système de Pfaff passant par M, est comprise dans les multiplicités Myp+4, par un choix convenable des fonctions arbitraires Pnp+4 …, D, des p + 1 arguments æ, æÆ,, …, a,

Nous allons maintenant démontrer, et c’est là le point le plus délicat de la démonstration, que réciproquement, quelles que soient les fonctions arbitrarres Pott v D, satisfaisant aux

conditions spécifiées plus haut, la multiplicité Mp41 est une intégrale du système S (4).

(:) M. Cartan établit ce point essentiel par un raisonnement intuitif très intéressant, que je reproduis presque textuellement (Voir Annales de l'Ecole Normale, 3° série, t. XVIII, p. 260), | £

« Pour démontrer que les multiplicités Mp+41 satisfont aux équations (I) et (IL), nous allons démontrer que si une multiplicité MC, +4, déterminée comme il a été dit, satisfait aux équations (I) et (II) pour une certaine valeur de x, elle y satisfait aussi pour la valeur infiniment voisine æ + dæ.

Si cela est démontré, comme les équations (I) sont vérifiées par la multiplicité Mtp+4 pour æ = 0, puisque Ap+4 se réduit alors à M, et que les équations (Il) sont supposées vérifiées par la multiplicité Ap4+4, et par conséquent aussi les équations (Il), il en résultera que les équations (1) et (Il) sont vérifiées pour toute valeur de æ.

Or, supposons que pour une certaine valeur de æ les équations (1) et (Il) soient vérifiées. On a alors, en particulier, pour cette valeur de x, 2Q;(R) dO,(%)

2x 2BE 2

Q,() SOA NOEL D

k Mais si Q,(%) est nul, il en est de même de sa dérivée E prise par ir De

: NS j(R) rapport à la variable æ;, indépendante de x. Donc Le … est nul pour la

valeur considérée de æ. Or, dire que A4) et Dee s’annulent pour la | =

valeur æ, c’est dire que Q;(k) s’annule pour la valeur infiniment voi- : dQ;(k)

et des quantités

analogues. Donc, pour æ + dæ les équations (1) sont vérifiées. Il en est de même par hypothèse des équations (Il!) et, comme conséquence algébrique, des équations (Il) qui sont équivalentes à (Il!) en tenant compte de (I). Donc, pour æ+dæx, toutes les équations (1) sont vérifiées. »