CHAPITRE VIii

Nous nous appuierons sur le lemme suivant qui est à à peu nt évident.

Soient F,, F,,..

variables Z,, …, des valeurs Z, = 0, .…, se réduisant à zéro quand on y fait Z, — 0, .…, que soient les valeurs des autres variables x, æ,, :.., équations

+ F, des one RATE des ÀA+p+1 Zn, ©, Li, .…, Cp, holomorphes dans le voisinage labre due 0). Ro es de el Zh= 0, quelles xp. Les

oZi UE 7 = Si (PSS Tran ve

» , Ne

où les seconds membres sont des fonctions linéaires et homogènes,

à coefficients holomorphes, des F; et des dérivées partielles des

fonctions F,, F,, ..…., Fx par rapport aux variables x,, x, …., &p, prises en y regardant Z,, .…, Zx comme des fonctions de æ, æ,, …, Tp n'admettent pas d”’ autre système d° AUS se réduisant à à zéro pour &æ — PURE 0, 0; 2h = 0

Il est clair, en effet que Z, —0, …, Zr=—0 est un système d’inté-

grales des équations (16) et, d'après le théorème général (Leçons

n° 4), il n’existe qu’un seul système d’ intégrales satisfaisant à ces

conditions initiales.

Cela posé, nous savons que les équations (II) se réduisent à . m — p équations distinctes, en tenant compte des relations (1). On

peut toujours prendre, pour former ces m—p équations, les r équations Q(%) — 0, puis s S—m —p— r autres relations, que

nous représenterons par

Si on résout les m — p équations

QD— 0, :., Al) — 0,

PR PAS Q;—0, …. C0 d£

SET ot* qu'on porte les valeurs obtenues

: Ôn t à sn a. LAN par rapport à es ee,

t * dans les autres équations Q%)— 0, elles se réduisent à des identités

en tenant compte des relations du groupe (1). Ges relations du groupe (1) ne sont pas non plus en général distinctes, et se réduisent à N équations distinctes.

es :

à to e LI AMP ER à L