CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES

qui expriment que l'équation w — o est complètement intégrable. Ces conditions sont d’ailleurs suffisantes pour que w soit de classe 2, car les équations du système S, se réduisent à deux équations distinctes, et l’on peut évidemment prendre l'équation w — 0 pour l'une d’elles. | |

L'intégration de l'équation w — o permet de ramener cette équation à la forme canonique y,dy:, et cette intégration par la méthode de Mayer exige une opération 1.

Quel que soit le nombre des variables indépendantes, on peut aussi employer la méthode de J. Bertrand. Soient en effet y, et y, deux intégrales distinctes du système S, ; on a démontré que l’on peut, par un changement de variables, mettre » sous la forme Yady, + Yody», ou Y, et Y, ne renferment que y, et y», et il suffira d’ DIRETEE ensuite l'équation différentielle

Yidy: +- Y,dy, = O,

pour mettre enfin « sous la forme canonique w,dui.

Cette méthode exige les opérations 2, 1 et 1. Elle semble donc plus compliquée que la première, mais il est à remarquer qu’elle n’introduit aucune difficulté étrangère au problème. En effet, si l’on a intégré l’équation w = 0, il suffit d’un changement de variables pour ramener « à une forme canonique y,dy,, et on a immédiatement l'intégrale générale y; — C1, y, = C, du système S.

Prenons enfin une forme « de classe 3. Le système S; se compose de deux équations et le système S,de trois équations. Si l’on prend pour variables nouvelles y,, y, deux intégrales distinctes de Si, prend la nouvelle forme

9) — Y,dy; 2e Y:dy 4% da V3 étant une variable distincte des deux premières qui s'obtient par une quadrature (n° 5), et Y,, ŸY, ne dépendant que de y1, ÿe. L'intégration de l'équation du premier ordre Y,dy, + Y,dy, —0 permet enfin de ramener w à la forme réduite 2,42, + dy, Faure Ys étant trois fonctions distinctes des variables Vi: Cette

méthode de réduction exige les opérations 2, 1, une quadrature et une autre opération 1.

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Prenons par exemple une forme à trois variables x,, SEAT ET le covariant bilinéaire est identiquement nul, si l’on a à la fois

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et w est dors de classe. UD, © — dy. Si fs covariant bilinéaire n "est pas nul, le système S, se compose des deux équations

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