CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES. | A
9. Formes canoniques. — Les résultats des paragraphes précédents peuvent être résumés comme il suit : |
1° Etant donnée une forme de Pfaff » de classe 2p + 1, on peut la ramener à la forme |
Dopei = Mon À or
w,, étant une forme de classe 2p, où figurent seulement 2p variables, et la variable ,,,, ne figurant pas dans w,,. Cette réduction exige l'intégration du système S,, puis un changement de variables où l’on prend 2p intégrales distinctes de S, parmi les nouvelles variables. Ces 2p variables sont celles qui figurent dans w,,,. Quant à w,,,,, on la détermine par une quadrature, et cette fonction n’est pas complètement déterminée, car on peut lui ajouter une fonction arbitraire des 2p variables qui figurent dans W2pr À condition de modifier en même temps les coefficients de cette forme. | | | |
20 Une forme » de classe 2p peut être mise sous la forme : J
Hop ee Up Oop1
Sp 1 étant une forme de classe 2p — 1 où figurent seulement
>p — 1 variables, et la variable w:, ne figürant'pas dans w,,:,.Cette
réduction exige l'intégration du système S,, puis un changement
de variables où l’on prend 2p — 1 intégrales distinctes de $S, parmi les variables nouvelles. | Le coefficient z,, se détermine sans aucune quadrature, eton peut multiplier ce coefficient par une fonction arbitraire des variables quÀ figurent dans PEN I. condition de modifier en même temps les coefficients de cette forme. | | IL est facile de déduire de ces propositions l'existence d’une forme canonique pour une expression ce Pfaff. Supposons, pour fixer les idées, que » soit de la classe 2p + 1 ; après une première transformation, nous pouvons écrire | D = O9p + DATE :
la forme »,, de classe paire peut à son tour s'écrire
Dop — U2pWop 1)
%ep étant une forme de classe 2p— 1 où figurent 2p— 1 variables seulement. En continuant ainsi, on à une suite d'égalités
Dept1— 9 Gi de Hess Dop — Urp@op 4»
W9r+i—= op + dort, Gor — Usrowor, n3 = Go en du, Do = Uow,,
Di —= du, ;
ep Oops +++, O3 m9, w4 SOnt des formes de classe marquée par l'indice, et, d’après la façon même dont on obtient ces égalités, les variables #,,,,, u,,, ……., u, sont indépendantes, puisque la variable u; ne figure dans aucune des formes d'indice inférieur à &. En éliminant w,, 2 +, W9, Entre ces relations, on obtient pour 2 »
%p41 l'eXpression
Dap+i — us GE Up, : TT Upllop-o dns +. + Usy +. Ua, ou, plus simplement, en changeant de notations, Op Zidy me A N/A CPE 4 dy, + CORNE OAI apars Det EE eue £, formant un système de 2p + 1 fonctions distinctes des variables primitives.
On verrait de la même façon qu'une forme de classe paire Ven
peut être ramenée à la forme canonique. | Ven = £ydy1 + SOUTIEN AE Zp0Y ps | Hire Ypr Bis ee, 5, formant un système de 2p variables distinctes.
Les résultats démontrés plus haut (n° 2) se trouvent ainsi établis de nouveau. et d’une façon beaucoup plus complète.
Nous avons vu déjà comment on peut déterminer la classe d’une forme, et par suite le type auquel elle peut être ramenée. La démonstration précédente donne en même temps le moyen, au moins en théorie, d’effectuer la réduction, par des intégrations successives de systèmes complets et des changements de variables. Remarquons que toutes les formes successives que l’on rencontre, à partir de la seconde, sont des formes ordinaires, dont la classe est égale au nombre des variables qui y figurent.
