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se correspondent par la transformation ponctuelle (6), re même

que les éléments linéaires intégraux se correspondent un à un par la transformation linéaire (7). |

Nous allons montrer dans les paragraphes suivants que l’on peut choisir les fonctions v; de façon à ramener toute expression de Pfaff w à une forme canonique particulièrement simple. On peut

SLR ri LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.

remarquer tout de suite que, si l’on a choisi les fonctions o; de façon que les équations |

Yi —= CG, ..) Vu Ge

représentent une famille de courbes intégrales (ce que l’on peut

faire d’une infinité de manières), la nouvelle équation devra être vérifiée quand on remplacera Yas Yas ee, Yn par des constantes quelconques, et par suite le coefficient Y, sera nul. s

Le principe de la méthode de Pfaff pour résoudre l'équation w— 0 consiste à chercher d’abord un changement de variables permettant de remplacer cette équation par une équation de même forme où figure une variable de moins. Pour que l’équation

NAT NT EEE Yrdyn = 0,

obtenue par le changement de’ variables (6), ne renferme que

les 7 — 1 variables Yas Ya +. Yn 1s par exemple, il faut et il suffit que Ÿ, soit nul, et en outre que le rapport de deux quelconques

des coefficients Y;, Y4 (in, k n) soit indépendant de y,. On peut écrire ces conditions

— 0, PRES BYE, ST n, |

t. étant une fonction ou une constante que nous laisserons indéter-

Mminée pour le moment. En remplaçant Y,, 1Ps or Yh par leurs è

expressions tirées des formules (9), on obtient un système de n équations aux dérivées partielles, l’une du premier ordre, les

autres du second ordre, auxquelles doivent satisfaire les fonctions

Pas Par ++. On. Maïs, pour l’objet que l’on se propose, il est inutile

d’avoir l’intégrale générale de ce système, il suffit d’en connaître

une solution particulière. ; Nous allons d’abord montrer qu'on peut remplacer le sys-

tème (10) par un système équivalent où ne figurent que les déri-

vées du premier ordre des fonctions inconnues. De la première des équations (10),

me p) |

“és — > X% PR LES

dYn |

F MAT CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES. JPA ontire, en effet, en différentiant par CHE à Téssa: PERS É F £

1 Pen EX 2°pPk | PR | XX 29h PES CE A

#% L k . L: A 7e y dun Dan di | 570 | Re CARO mere dE KT [7210 4 - ,

D'autre part, ontire de l'expression (9) de Ye

Ref S 3 E ANS: k ———— N PR k DXR. 29 + | EPL: Fe Ce A Un ie on Ha” RMI RERSS

di ble A te» sm i | Le] 1® —S a

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E ce que l’on peut FCI, en tenant compte de la relation précédente, x % A Tee | 1 CORRE EN

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2 S De xx DOR dPh + DE >XR doRIPh RS ne. ie Th Fe dYn Th EZ dyi ? | x | 2

ou encore, en permutant les indices h et } dés la seconde SOMER EVE 0 % ” “ * f, x mation, RO A NE De | : ARR Re

ET DXRk DAT

et l'équation REA | He | j . PA TS | ; ” ; ù : OL ie Fe i “. : Ë N F

devient Re PR NE M CR | ARR EE

Er - en PS pour abréger, DT SR EAN EP AE RC Ro PTIT F | : ) À CRT | NS “ps è

LE OR EDR Ed VIE dd, à ee Akh —= — = LA ne RÉAL - (A, en a , .. nee ; à Ÿ DC) MATE NO ALILS CR bee L'EGUTNE ARIÈTRE A ET es, Ke RENE er EN à RENNES LD {sr Le système (10) est donc remplacé par Lee équivalent Rd

Wir L À : 21 LE A v*. è Z Re.

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où ne figurent que les fonctions inconnues 4,,0,, ..…, on, et leurs dérivées partielles du premier ordre.

Ces équations seront certainement vérifiées, si m n'est pas nul, Le les intégrales du système

ñn

(12) Dan SE — uXx —0, Ro VU PT PAP 12 PRE “

cela est évident pour toutes les équations (11), sauf pour la pre-

mière. Il en ést de même de la première, car, si on ajoute les

n équations (12) après les avoir multipliées respectivement par

are due PR ASPOURe il vient, en tenant compte de la reladYn dYn tion évidente ayx + A Er | nm Pie ses u D XR + — O0.