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Le déterminant À — est différent de zéro.
Ti NO t 0 * 0 NON
Le système S, est
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on en tire les intégrales
RE d'EUDRES L1 (3 É7ISNE On my, ae ys 214 T4
en prenant les nouvelles variables 71, Y2, V3, Æy, On a :
a aa HA yse y2 2 pat T4 < re: y2s LI tes yse ye à Ya ; et « devient | æ m=yse Ÿ (or es dys y2 ai | ; a + yse # \dys PAP NES eReu trs Lyc da | Han AP SAUT 115 ROME æ m. æ 2e Use NU Ua t Vie LA dus yre nie? (ay: + Hu dy), | L Va
ce qu’on peut écrire 2»dYyo + ZadYs, £o, 53, Ya, Ya formant un système.
de quatre fonctions distinctes.
10. Formation des systèmes de Pfaff successifs. — ka méthode de réduction précédente exige l'intégration successive des systèmes de Pfaff associés aux formes intermédiaires que l'on rencontre dans la réduction. En utilisant la classification des inté-
srales due à Cauchy, G. Darboux (t) a montré que l’on pouvait.
écrire ces systèmes de Pfaff successifs d'avant d’avoir effectué
‘aucune intégration, pourvu que l’on choisisse convenablement
les nouvelles variables. Supposons, pour fixer les idées, que w soit
une forme de classe 2p à n variables æ,, x,, .…., æ,. Le système
S, correspondant admet 2p — 1 intégrales distinctes ; il y a donc
(‘) G. Dansoux. Sur le problème de Pfaff (Bulletin des Sciences Mathématiques (1882), pp. 30-34). ;
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toujours n — 2p + 1 des variables x; au moins qui ne sont pas des intégrales de ce système. se
Pour fixer les notations, nous Supposerons que Las, Lopygs ve) Ly ne sont pas des intégrales de S,, et nous désignerons par u; l’intégrale du système S, qui se réduit à æi(i — 1, 2, …., 2p— 1) quand
on y remplace x,, par 2°, Lopxs Par & 2p+4 + D, par æ°,, do, L'opris es L°, étant un système de constantes numériques. Si l’on
prend pour nouvelles variables w,, gs ces Uop ts Laps es Lys ON
a vu plus haut que l’on a une identité de la forme
Fa De D X;dx; = K [Uidu: + U,du, est Us dat
ie
U,, U,, …; U,,, ne dépendant que de u,, u,, …, PRE
Le facteur K n’est pas complètement déterminé, car on peut le diviser par une fonction arbitraire de u,, u,, + Ugp ys à Condition de multiplier les coefficients U; par la même fonction. SEX |
On peut profiter de cette indétermination pour supposer que ce facteur se réduit à l’unité quand on fait RE SE SRE ne AU en effet, s'il se réduit à une fonction d (us, U,, Un 41) il Suffira de le diviser par 4. Ce facteur K étant choisi de cette façon, faisons maintenant |
Loop = L'aps ves Ln =,
dans l'identité précédente ; .on a dæx,, — 0, .…, dx, — o et Ui, ..., Us, Se réduisent respectivement à æ,, Las +. Lyp y. Cette identité devient donc | |
2p- du 2p—1 : ;
D Ai pe D aan D | bee be Ua, dos).
