CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES
ce qu’on peut exprimer comme il suit: La nouvelle forme w:,;, obtenue après la première transformation,
ou = dus + 22 + U,, 1004 se déduit de la forme Xide + EX ds
en y remplaçant Ti par ui G— 1,2, ..., 2p — 1), æ, par CPR RE 0 da LE ADS | |
De même, siw est une forme de classe 2p + 1, le système S, admet 2pintégrales distinctes, et on peut supposerque &;,,,, ..., ©n ne sont pas des intégrales de ce système. Soit, comme tout à l'heure u; une intégrale du système S; se réduisant à x; pour æ,,4 = LA de es En Dn(b=—t1;.23 +520). 191 lon prend pour nouvelles variables w, Us, ..,Ua,, Æa,,,4, +, Œn, On est conduit, comme on l’a vu au n°5 , à une identité de la forme
n 2 X;dæ; = OU + U;du: Se Ce U,,du,,
Us, Us, .…, Us, ne dépendant que des variables w,, 2, ..…., ua,
La fonction U n’est pas complètement déterminée, car on peut lui ajouter une fonction arbitraire de u,, ..., Uz9» à condition de modifier convenablement les coefficients U;, et on peut profiter de cette indétermination pour choisir la fonction U de façon qu’elle
154 re Clone ne.
rene | |
Si l’on remplace maintenant Lag+as.-..s Tr PAT les constantes numériques L'yp14s +. L°n dans les deux membres de l'identité précédente, elle devient
à Xi(Las .. Lop , Loptts … Ln) dLi ——— à U; Li, .…. Lay) Li;
gel et on en conclut comme plus haut que /a forme de Pfaff. Oop == U,du, + U;du; + ... 2 Us, du y obtenue après la première transformation, se déduit de la forme
X,dx, + ..:+ X,,dxe,
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en y remplaçant x, par Us ces Top PAT Ua Lot PONTS Tn PAT Ln.
On verra un peu plus loin (Chap. Il, n° 48) une AV RIIEURS
importante de cette propriété.
11. Rang d’une intégrale de S:. — Nous allons maintenant exposer des méthodes de réduction qui exigent beaucoup moins d'intégrations que la méthode générale qui précède. On peut les rattacher d'une façon très simple à la notion du rang d'une intégrale du sy stème S:. Nous démontrerons d’abord un lemme sur les systèmes d'équations aux différentielles totales. Soit
(24) Andx, + A 202» STE Aindxs SO (LP T9) m)
un système de » équations aux différentielles totales, comprenant 7 équations linéairement distinctes (r < m), formant un système complètement intégrable. Pour que x, soit une intégrale de ce système, 1l faut et il suffit que les équations obtenues en remplaçant &, par une constante et dx, par zéro dans les équalions (24), se réduisent àr — 1 équations distinctes.
En effet, si les équations (24) forment un système complètement
intégrable de r équations seulement, dont æ, soit une intégrale, ce
système est équivalent à un système de la forme
He. ….) RARES CHR E
et le premier membre de l’une quelconque des équations (24) est.
une combinaison linéaire de dfi, df:, .…, dfr-4,dæ,. Ce système ne contient donc que r — 1 équations distinctes quand on y remplace X, par une constante, et dx, par zéro. Inversement, si les équations (24)se réduisent à r — 1 équations distinctes quand on VB RES C'ories oi Faut évidemment que les r intégrales distinctes f,, .…., fr du système (24) se réduisent à r—-1 fonctions distinctes quand on suppose x, constant, c'est-à-dire que æ1 soit une fonction de ces r intégrales.
Cela posé, soit w une forme de Phaff j :
