CHAPITRE 1. — FORMES CANONIQUES

si l’on remplace dans cette expression æ, par une constante,

d’ailleurs quelconque, on doit remplacer dx, par zéro, et la nou-.

velle forme de Pfaff MU X,:dx, +... + XhdEn,

o ù &, est regardé comme un paramètre dans X:, …, X», peut être d'une classe inférieure à celle de w. Cherchons d’abord dans quels cas cela peut arriver. Soit c la classe de w: c’est aussi le nombre

des équations linéairement distinctes du systèmes, G and, dE Minis 06 LES LS EAN | 2 7 X,d2, + … — X»dEn — 0. "

La classe c() de (4) est de même égale au nombre des équations -linéairement distinctes du système ts Ak2dL»s +... + Gxnd£n = 0,7 (k—2,3,...,n), à X,dæ; —+ … + X En = 0; ;

Ce nombre cl) est au moins égal à c — 2. En effet, si l’on avait

par exemple cf) — c dans les équations de S>: comprendrait au plus c — 2 équations distinctes, puisqu'on obtient ce système en adjoignant une équation au système S4), Or ceci est impossible, puisque, par hypothèse, le système S: se compose de c équations distinctes. L’abaissement de

la classe, quand on passe de & à ut), est donc au plus de deux

unités. ;

Il y a certainement un abaissement ‘de la classe si x, est une intégrale du système S:. Dans ce cas, en effet, d'après le lemme précédent, les équations obtenues en faisant dx, — 0 dans les équations de ce système se réduisent à c — 1 équations distinctes. Les équations du système S,(t), qui font partie des précédentes, comprennent donc au plus c— 1 équations distinctes. Pour démontrer la réciproque, nous examinerons séparément les formes de classe impaire et les formes de classe paire.

rer Cas. — Soit « une forme de classe 2p + 1. Le système S:

contient 2p + 1 équations distinctes, tandis que, par hypothèse, le système S,(4) en contient seulement 2 p—1 ou 2p. Si S,û) ne contient que 2p — 1 équations distinctes, le système $,()

(S,4)) Ak2ALs +. + GindEn = 0, (k = 2, PART R n), | G. Leçons. ; LEE

3, le système obtenu en faisant dx, — 0 .

qui comprend toujours un NOMREe pair d'équations linéairement distinctes, se réduit forcément à un système de 2p — 2 équations linéairement distinctes. En faisant dx, — 0 dans les équations de S,, le système obtenu contiendra donc moins de 2p équations, et par suite x, est une intégrale du système S,. Inversement, si FL est une intégrale de $,, le système S,(1), qui contient moins de 2p équations distrnctes, en renferme D ytRE et le système S,() en contient EX cr 1 | ; ; Supposons en second lieu que le système S,{) contienne 2pDA équations distinctes ; le système S,() en contiendra lui-même 2. La forme 1) étant de classe paire, la dernière équation de S, (0 est une conséquence des équations de S,(t). Il en est de même de l'équation s

En effet, puisque les formes linéaires Ai ÎL3 +... + Gindn, où >> 1, sont des combinaisons linéaires de 2p d’entre elles, les formes linéaires and; + axdx> + …. + Gind£n, Où t > 1, comprennent au moins 2p formes linéairement distinctes ; elles ne peuvent en contenir davantage, puisque le système S, ne comprend | - que 2p formes linéairement distinctes. Il en résulte que l'équation

est une conséquence des n° à ‘dernières équations de Bi NES . comme elle ne contient pas dx,, elle est une conséquence des équations de S,4), Le système obtenu en faisant dx, — o dans les équations de S, se réduit donc à 2p équations, et par suite x, est une intégrale de S,, mais ce n’est pas une intégrale de S,, comme on vient de le voir. Dans le cas actuel, S, est identique : à S;, et on peut énoncer la proposition suivante :

Etant donnée une formé w de classe 2p + 1, pour que la classe de la forme «), déduite de w en y remplaçant x, par une constante quelconque, soit inférieure à 2 p + 1, il faut et il suffit que x, soit une intégrale du système … St x, est une intégrale de S, sans être une intégrale de S,, wi) est de classe 2p ; si æ, est une intégrale de S3, wlt) est de classe 2p — 1. |