CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES

2e Cas. — Soit w —= X,dx, + … + X,dx, une forme de classe 2p, et supposons que la forme | |

ut) = X,dx, + … + X,dz,,

où æ, est regardé comme un paramètre, soit de classe inférieure à 2p. La forme auxiliaire

D DMX des NAN ES) RE

où æ,,, est une variable distincte de æ1, &+, .…, æ,, est alors de classe 2p + 1, tandis que la forme

O0) — 2,1 (Xsdts + ... + X,dx,) + dx, » l est de classe 2p ou 2p — 1 (Voir n° 7. Remarque).

Cela étant, appliquons le résultat qui-vient d’être établi pour les formes de classe impaire à la forme Q. D’après ce résultat, pour que o4) soit de classe inférieure à 2p + 1, il faut et il suffit que x, soit une intégrale première du système X,, analogue à S,, pour la forme Q ; ce système est ici

ad, —— . : . + TindEn — O, ( Et PROD ON n) Xiti he. Xe — 0; | NEO |

la variable auxiliaire x,,, ne figurant que dans la dernière équation, pour que x, soit une intégrale de ce système, il faut et il suffit que æ, soit une intégrale du système formé par les n + 1 premières équations, c’est-à-dire du systèmeS,.

Pour que «(1 soit de classe 2p— 2, il faut et il suffit que aû) soit de classe 2p — 1, et par suite que x, soit une intégrale du système X, analogue à S, pour la forme @ ; ce système est ici, puisque « est de classe paire, |

Gixdti + ... + GindTn __dXn+1 c’est-à-dire qu'il est identique au système S, associé à la forme w, si l’on fait abstraction du dernier rapport où ne figure que la variable auxiliaire. | La conclusion est la même que pour les formes de classe

Soit

02 era LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.

impaire ; et, d’une manière générale, la classe s'abaisse d’une unité quand on passe de w à 1) si & est une intégrale de $, (sans être une intégrale deS,), et de deux untlés si &, est une intégrale de 53.

Nous dirons dans le premier cas que x est de rang un, “et dans le second cas que x, est une intégrale de rang deux.

Ces propriétés sont faciles à vérifier sur les formes canoniques.

ep+i —= Per — sine + pe + (LT FAN :

si l’on remplace y,,, par une constante, la nouvelle forme est de. Yp+1 P

classe 2p. La classe s’abaisse de deux unités si l’on remplace y;ou £; par une constante ; si l’on suppose par exemple ;— C, on peût

écrire CU + CGidyi = QUPET + Ciyi) et, au lieu de trois varia-

Yis Ei Yo+y On n'en a plus qu'une y,,4 + Gigi.

Prenons encore une forme de classe 2p. Si l’on suppose y; = C, la classe s’abaisse de deux unités : elle s’abaisse d’une unité seulement, si l’on suppose s:=—C. Mais elle s’abaisse aussi de deux

pe - À ? Ze y \ k unités si l’on suppose le rapport égal à une constante C, car on : Z4 1

peut alors écrire Zdys + £adys — z,d(ys d Cye),

et, au “He de quatre variables ; Ya Yo Lys 2, ON n’en a que, ‘deux: x A et ya + Cy2.

12. Nouvelle méthode de réduction. — La propriété précédente des intégrales du système S, conduit à une méthode de réduction plus simple que la première. Soit

(A) ES CAE Le 0 last tt X, dx,

une forme de classe 2p Ur Supposons que l’on ait obtenu une intégrale w, du système S, correspondant ; si l’on fait un changement de variables de façon que z, soit une des nouvelles variables indépendantes, en prenant par exemple pour variables, 43, æ», .…, SE

l'expression de w devient

D —= U,du: - XXL» +... + X,Odzx,,

CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES. 53 U,, X,0), .…, X,( étant des fonctions des variables 4,, æ, ..., æ,. D'après ce qui vient d’être démontré, la forme - oÙ = X (dr: + …. + X, Hax,,

où u, est regardé comme un paramètre, est de classe 2p — 1. Soit z, une intégrale du système de Pfaff correspondant S,(), qui est d'ordre 2p — 2 ; cette intégrale dépend des variables æ,, .…., Æn,

et aussi en général de w, qui y figure comme paramètre. Prenons

pour nouveau système de variables w,, &3, .…., &n, au lieu de (Los +, Æn) ; 1] faudra pour cela poser

LR OU RENE LR En faisant ce changement de variable dans la forme » elle-même, on doit remplacer dx: par

on + ÀE du, + 2 dx, mr Vs + À£ der,

dL3 d

et w devient

w = U,f'du, + UÜdu: + X;Odx, + ... + X,0dx,, tandis que w{{) a pour nouvelle expression

1) = U, du, + X,@dx, + ... + X,0dx,.

Si dans cette forme «() on regarde 4, comme constant, ainsi que a, la forme |

7) = X, dx, + ... + Xhn)dxn,

où u, et ne figurent que comme paramètres, est de classe 2p — 3. Soit u, une intégrale du système S,®) correspondant, qui est

d'ordre 2p — 4. Un nouveau changement de variables permet

d'écrire sous la forme

ù = U;@du, + U®du + U du, + w®),

où (0) est une nouvelle forme