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de p transformations de ce genre dont Rae diminue la classe de deux unités, on aura pour une expression de la forme

o — U,w du, +- U,() du: re .. + U, du, + œ(P),

Ui, Us, . .…, U, étant p variables indépendantes, U;(), .…, U,Pides fonctions de ces p variables et de n — p variables x;, et w(?) une forme de classe un, quand on y regarde 4,, ., u, comme des paramètres. On a donc |

œlP) — dv — (5 du, +... + dus):

la fonction V se déterminant par une quadrature, et on voit qu'en modifiant un peu les notations, l’expression obtenue pour w peut s’écrire |

à = dy + Sdya +. +£ FE + UPS )

la forme w se trouve ainsi ramenée à une forme canonique, et cette

réduction exige les opérations 2p, 2p —2, …, 2, el une quadra-

ture, avec des changements de variables.

La méthode est la même pourune forme de classe 2p. , La réduc-

ton à une forme canonique exige les opérations 2p—1, 2p— 3, ASS CPR changements de variables.

On a intégré par là-même les systèmes S; et S, relatifs à la forme w. Nous avons supposé, pour simplifier, que dans chaque changement de variables, on conservait toutes les variables indépendantes xi, sauf une, qui figuraient dans la forme d'où l’on part. Mais il est-clair que cette hypothèse n’est nullement nécessaire ; l'essentiel est de prendre une intégrale du système S,0 auquel on est parvenu pour l’une des nouvelles variables. Remarquons encore que, quand on passe d’une forme w() à la suivante, la classe diminue de deux unités, mais le nombre des variables qui figurent dans la nouvelle forme n’est pas forcément égal à la classe, comme il arrivait dans la première méthode de Sono

Exempce I. — Reprenons la forme considérée plus haut

wù = LiLdXa + Litodts + (ay + Lsts)dXs + Lst4dts

qui est de classe quatre. Dans la nouvelle méthode, on n'utilise qu’une À

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