Si » est

Zy

de classe 2p + 1, et a pour forme canonique £,dy, + .…. + £,dy,

Hdi, x est évident que la forme Ka Guy Er, dy dus est au plus de classe 2p + 2, quelque soit le facteur K. IL résulte de là que, quel que soit K,.la classe de Kw ne peut dépasser la classe de de plus d’une unité, ét cela ne peut avoir lieu que si w

est de classe impaire.

La classe de Kw ne peut non plus être nee de plus d une

unité à celle de w, car la multiplication par augmenterait la

classe de Ko de plus d’une unité. |

Nous appellerons classe de l'équation RS classe de la forme Kw qui est la plus petite possible quand on prend pour le facteur K une fonction arbitraire différente de zéro. Cette classe ÿ est toujours un nombre impair. En effet, si Kw est une forme de classe paire, ayant pour forme canonique.

Ko SAYS | . + Z nd»

K KR, sera une forme de classe i impaire 2p — 1.

Puisque la classe de » ne peut diminuer de plus d’une unité quand on donne au facteur K toutes les formes possibles, il s’ensuit que si w est une forme de classe impaire 2p + 1, la classe de l'équation w — o est égale à la classe de la forme w elle-même, V = Au contraire, nous avons remarqué tout à l’heure qu’en multipliant une forme de classe paire 2p par un facteur K convenablement choisi, on abaisse la classe. Par suite, 8 w est une forme de classe paire 2p, la classe de l'équation w — 0 est égale à 2p — 1, ee Ce a |

S1 on écrit la classe y — 2m + 1, le nombre m est égal à p pour une forme de classe impaire 2p + 1, et à p —1 par une forme de classe paire 2p. :

Pour trouver toutes les multiplicités intégrales d’une équation de Pfaff — 0, il est évident que l’on peut multiplier le premier membre par une fonction arbitraire K des variables qui y figurent, et il est naturel de choisir ce facteur K de façon que la nouvelle équation Ko — o renferme le plus petit nombre de variables possibles. C’est ainsi que la notion de classe d’une équation de Pfaff s’introduit d'elle-même dans la question.

Le nombre mn + 1 — ne est égal au plus petit nombre de dif-

. férentielles que l’on puisse laisser dans l'équation w — 0 par tous les changements de variables possibles. En effet, supposons que, par un changement de variables convenable, on ait mis » sous la forme |

A o = Ujdui +... + Urdur,

aucun des coefficients U; n'étant nul. Il est clair que l’équation w — 0 est équivalente à l'équation | |

; LE ; Ur | du, +w, qe Ho, FT dur

dont la classe est au plus 2r — 1. On a donc << 27 — 1,et par

suite r DT :

Nous dirons qu’une équation —0 est ramenée à la forme cano-