CHAPITRE II. — INTÉGRATION D'UNE ÉQUATION DE PFAFF

nique lorsque, dans cette équation, ne figurent que ere M HI

différentielles, y étant la classe de cette forme. Si, par un changement de variables convenable, on a mis w sous la forme

(2) wo —= Y,dy, +... +Y,dy, + YusidYÿmua l'équation w — 0 peut s’écrire, en Re É les coefficients par be ae He 70 sidi +. et z,dys E dtisx = 0 où | re en Œ—1,2, MST),

et l’on est ramené dans tous les cas à résoudre une équation w = 0, où w est une forme canonique d'ordre impair.

Pour ramener une équation de Pfaff donnée w— 0 à la forme (3), où le nombre 7» a la plus petite valeur possible, nous avons encore deux cas à distinguer, suivant la parité de la classe de

rt Cas.— Supposons que soit de classe paire 2p ; on a dans

ce cas Yÿ— 2p — 1, et par suite »m + 1 — p, de sorte que le problème revient à mettre une forme de classe paire 2p sous la forme

Y,dy: + hs + Au,

c’est-à-dire à mettre w sous forme canonique.

26 Cas. — Soit w une forme de classe impaire 2p + 1 ; on a, dans cé cas, ÿ —2p +1, ét par suite m +'1—=p + 1, de sorte qu'il s’agit de ne laisser dans l'expression de w que p + 1 différentielles. On a une première solution de ce problème si on a mis w sous forme canonique LE

0 = dy, À... +s,dÿ + dysss

mais ce n’est là qu’une solution particulière, où le coefficient d’une des différentielles est égal à l’unité. |

D'une façon générale, si la forme « de classe 2p + 1 ne renferme dans son expression que p + 1 différentielles |

(4). = Vds + + Vide + Yomdÿpes

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il est clair que Yi Yp.

Yp41° 0" Ypt

Yas Jar ses Ypyus

| forment un système de 2p + 1 variables distinctes, car autrement l'équation » — o serait de classe inférieure à 2p + 1: cette équation est donc ramenée à la forme (3) où m— p. En résumé, si w est de classe impaire 2p + 1, pour ramener l'équation w — 0 à la forme canonique (3), il n’est pas nécessaire d’avoir

ramené w elle-même à une forme canonique. // suffit d'avoir

ramené w à une expression où ne figurent que p + 1 différen-

tielles, les coefficients de ces différentielles pouvant être quelcon-

ques.

Pour bien saisir cette distinction entre les deux problèmes, considérons une forme à trois variables

1 £ DES NID: + X,dæ,

où X,, X, sont des fonctions quelconques des trois variables

Di cle die | Pour ramener w à une forme canonique, il faudrait intégrer le système S,, qui est ici

2X oX: SAT UP ARE ET TE dL3 La T9 TT;

c'est-à-dire le système le plus général du second ordre ayant pour

multiplicateur l'unité. Nous voyons au contraire que l’équa-

tion w — 0 est mise immédiatement sous forme .canonique si l’ou x,

4YX1 S

Prenons encore la forme la plus générale à trois variables

wo —= X,dæ, + X,dr + X;dæ:,

prend pour variables x, æ; et

où X,,X,,X, sont des fonctions quelconques des variables x,,æ, Lee

Pour la ramener à une expression où ne figurent que deux diffé-

rentielles, on peut procéder comme au n° 8, en considérant la

forme auxiliaire

NUE XL + X;das,

où l’on regarde æ, comme un paramètre. Cette forme est de classe