CHAPITRE I. — INTÉGRATION D'UNE ÉQUATION DE PFAFF. O

deux en général, et on pèut la mettre sous la forme w,du, par un changement de variables, pourvu qu’on ait intégré l’équation différentielle (1) — 0, où æ, est traité comme une constante. Le même changement de variables appliqué à la forme » conduira à une expression où ne figurent que deux différentielles dx, et du,.

Ce procédé se rattache à la méthode générale du paragraphe suivant.

14. Caractéristiques. — Dans l'étude d’une équation de Pfaff, le système caractéristique S', défini plus haut (n° 7) joue le même rôle que le système de Pfaff S, dans l'étude de la forme de Pfaff elle-même. Ce système $,, qui coïncide avec S, si la classe de w est un nombre pair, et avec S, si la classe est un nombre impair, s'obtient en écrivant qu'un élément intégral (dx,, dæ,, .…, dx,) est en involution avec tous les autres éléments linéaires intégraux. Il est évidemment le même pour une forme w et pour une forme Kw, quelle que soit la fonction par laquelle on multiplie la forme w ; c’est une conséquence immédiate de sa signification. C’est aussi un covariant de, w relativement à tout changement de variables. On peut donc dire que le système caractéristique $, est un covartant de l'équation de Pfaff w — 0, quand on effectue un changement de variables quelconques, et qu'on multiplie le pre-

mier membre de l'équation par un facteur quelconque. Nous avons

vu (n° 7) que ce système est complètement intégrable, et il se com-

pose d’un nombre impair d’é équations, qui est précisément égal à la classe y de l'équation w = 0. Nous dirons, pour abréger, que

toute intégrale du système $, est une variable caractéristique M y.

a donc y variables caractéristiques DAIQRS pour une is de classe: vi à na :

Si une équation de Pfaff, de Mes y, a été ramenée à une forme canonique, les y variables qui y fiqurent sont des vartables caractéristiques. Les variables qui figurent dans une équation de Pfaff sont les variables qui figurent sous le signe d, et les rapports de deux coefficients quelconques des différentielles. |

Supposons, en effet, qu’une équation de Pfaff, de classe y—=2mMm + 1, ait été mise sous la forme

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