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pour cette forme canonique, le système caractéristique S, se com-
pose des 2m + 1 équation
di = 0, +. dymy —= 0, dE —0,.….,ds, —0.
Les fonctions yi, sx des variables x; sont donc des intégrales du système caractéristique, quelles que soient les variables au moyen desquelles on exprime la forme w. Si une équation a été ramenée à
une forme canonique, on en déduit donc immédiatement 1 ‘intégrale
générale du système caractéristique. Cela posé, pour ramener wne équation de Pfaff w —0 de classe 2m + 1, à une forme canonique,
on peut procéder comme au n° 12 pour ramener une forme de
Pfaff à une forme canonique; il suffit de remplacer le système de Pfaff S, par le système caractéristique S,. Les deux calculs sont d’ailleurs identiques si w est de classe paire, car alors dans ce cas S, et S, coïncident pour la forme w, et pour toutes les autres formes que l’on rencontre dans le calcul.
Soit, dans le cas général, w, une intégrale du système caractéristique S, ; si on prend pour Yariablés es Le ARMEN Pfaff s'écrit
nn)
l’équation de
wo — U,du, + Xidx: + …. + X dx, = U,du, + w() — 0.
L'équation «0 —o est de classe 2m —1 quand on y regarde u, comme un paramètre. La propriété est immédiate si la forme w est de classe paire 2p, car S, coïncide avec S,, la forme vw est de classe 2p — 1, et w(t) de classe 2p — 3. Si la forme w est de classe
impaire “ur 1, la forme ul est de classe 2p Drap LE puis-
que S, coïncide dans ce cas avec S,, et l'équation o4) — o est de classe 2p — 1. En déterminant ensuite une intégrale du système caractéristique relatif à w() — 0, et ainsi de suite, on démontre comme au n° 42, qu'on arrivera à mettre l'équation w — 0 sous une forme où ne figurent que m + 1 différentielles, c ’est-à-dire à une forme canonique.
Si par exemple w est une forme de SRE impaire 2m ce I, Où ne figurent que 2m + 1 variables, toutes ces variables sont des intégrales du système caractéristique, et en écrivant l'équation
X,dx, + wt) = 0, l'équation w(t) — 0, où l'on regarde æ, comme un paramètre, est
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