CHAPITRE II. — INTÉGRATION D'UNE ÉQUATION DE PFAFF

de classe 2m — 1. C’est: la généralisation de la remarque qui termine le paragraphe précédent.

REMARQUE. — On peut aussi comme plus haut (no 14) ramener une forme w de classe impaire 2p + 1 à n variables à une forme @ = x, ,,w + dx, ,, de classe paire. Si Q a été ramenée à une forme canonique, avec p + 1 différentielles, il suffira d’y remplacer æ,.,, par une constante pour avoir l’équation w — o sous forme canonique.

Soit une forme à n variables, telle que l'équation » — osoit de classe y ; en égalant à des constantes les y variables caractéristiques, on obtient les équations d'une famille de multiplicités à n — y dimensions dans l’espace à n dimensions

His Co La = Cie: en Uy= C,, telle qu’il en passe une par chaque point de l’espace (x, .…., æn). Ce sont les multiplicités caractéristiques de l'équation w = 0.

Si n est pair, y étant impair, il y a toujours des multiplicités: caractéristiques à un nombre impair de dimensions. Si n est impair, il y a des multiplicités caractéristiques à un nombre pair de dimensions, lorsque « est une forme exceptionnelle, où le nombre des variables dépasse la classe ; si w est une forme ordinaire, il n’y a pas de caractéristiques.

15. Intégration d’une équation canonique. — Toutes les mufxphiertés intégrales de Re w — 0 de forme canonique

(3) zdyy ee ere En Yo de LL ER re 0

peuvent être obtenues par des opérations algébriques (1). Rappelons brièvement la solution. D’après l’équation (5),

existe une relation au moins entre les variables y,, ya, ..…., Ye

Supposons qu’il y ait À relations distinctes et À seulement entre

ces variables (0 << m + 1); au lieu de les supposer résolues

(t} Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partiellés du premier ordre (Chap. IX, pp. 315-320).

par rapport à À des variables, écrivons- Fe sous ta forme la pis.

générale | |

(6) a (Yan +. Ym+a) SE OA SUR CT TN le 0!

les À fonctions di étant distinctes, et l'une au moins renfermant la variable y,,.,. La relation ie doit être une combinaison linéaire des À relations

(7) es dji=0, 4, dif 0,

puisqu'il résulte des hypothèses qu'il ne peut exister entre les différentielles dy; aucune relation linéaire distincte de ours là. On doit donc avoir une identité de la forme

dy, GES ef Zn AY Fe DIRES le NE: n dy Re d Ldhn,

À …, An étant À coefficients RP ENS ce qui entraîne les m + 1 relations nouvelles.

PLU de Ne) CODE Tee a \ RM Dee AR

| Re SU PR MA A De | dym+1 9Ym+1

Ces m +1 équations sont distinctes, puisque Caue les déterminants

d'ordre À que l’on peut déduire du tableau des dérivées partielles des fonctions Y; ne peuvent être nuls à la fois. L'élimination des À paramètres l; entre ces m + 1 équations conduira donc : à un Système de m + 1 — } relations entre les variables 4 DS à

(9) DUURE re Pa ) 249 82; RASE Te ï NP A ANR te |

Inversement, toute multiplicité M dans l espace à 2m + 1 dimensions telle que les coordonnées de l’un quelconque de ses points

NPOMERSU EN AN ER £n) Vérifient les »m + 1 relations (6) et (g) est: une multiplicité intégrale de l équation w —= 0. On obtiendra donc

toutes les intégrales de l'équation w — o en | prenant tous les systèmes de » fonctions distinctes di, Ÿ, …, Va des variables yi, l'une au moins renfermant y, (0 <h<m +1) eten adjoignant aux m +1 équations je et (9) un système de q relations choisies

A2 Ef ARTS.

L'iut RERain