CHAPITRE II. — INTÉGRATION D'UNE ÉQUATION DE PFAFF

arbitrairement entre les variables y;, z;, pourvu qu’elles ne soient pas incompatibles avec les premières.

La multiplicité intégrale ainsi obtenue est à 2m + (MAT EU) — mn — q{ dimensions, puisque les équations (6) et (g) sont au

nombre de m + 1. On obtiendra les multiplicités intégrales d'ordre maximum en supposant g — 0. En résumé, les multipli-

cités intégrales ayant le nombre maximum de dimensions sont des multiplicités à m dimensions que l’on obtient en établissant entre les 2m + 1 variables y;i, zx un système de m + 1 relations de la forme (6) et (9), les fonctions di étant arbitraires.

Toute multiplicité intégrale M»y à m—q dimensions est située sur une multiplicité intégrale M, à m dimensions, et s'obtient en adjoignant aux équations qui définissent M,, g relations nouvelles choisies arbitrairement et distinctes des premières.

Remarque. — On peut écrire les équations de M,, en adjoignant aux relations (6) les équations

Re d:

Ds L re + A2 a SRE d1/i :

RS n ENG 12, 0) L + + —— dYm+1. .JYm+1 qui donnent les variables z;en fonction de À — 1 paramètres À re

Docs PROS AEI pente memes h+1 4 1

variables indépendantes.

Soient M} une intégrale à A dimensions de l'équation (5) et. (ya9, ..., Y0m+1, 219, . ; 20m) un point ordinaire de Mr. Les coordonnées d’un élément de MZ voisin de celui-là peuvent s'exprimer au moyén de À d'entre elles prises pour variables indépendantes. On peut toujours prendre pour ces À variables indépendantes « des variables yi et À — « des variables z;, {outes ces variables Ayanë des indices différ ents. ù

En effet, si ym+1 est une des variables indépendantes, l’une au moins des variables 71, ys, ……., Ym dépend de ym+1, et la relation

FAP ARRET Le + 2m a + ba OYmAA = JYm4A 9Ym+1

G. Leçons. | 5

que l’on déduit de l’équation de Pfaff (5) prouve que toutes les déri- 2 Gr:

- Ym+1 dym+1 la dérivée — n’est pas nulle pour les coordonnées de l’élément con- Ym +1 à sidéré, on peut prendre y, pour variable indépendante à Ia place de ym+1, en conservant les autres variables indépendantes.

D'autre part, supposons que deux variables de même indice, y1 et 21 par exemple, fassent partie des À variables indépendantes. De la relad7Ym+1 w. dYm+1

o71 dZ1 dérivées de Yo, ..…, Ym; £a, +, £m par rapport aux mêmes variables, et la condition d’intégrabilité conduit à la relation

, à d A ñ . çe vées 71, ...,!m ne peuvent être nulles à la fois. Si par exemple

tion (5) on déduit les expressions de au moyen des

DE si), Da 22) + 4 re D (Yo £m) — Euer D(ys 21) D(7; 2) D(y, 2)

Il faudra donc que l’un au moins des indices 2, 3, ...,m ne figure pas parmi les indices des variables indépendantes, sans quoi tous les termes qui suivent le premier seraient nuls dans la relation précédente. Nous pouvons supposer que l’on ait choisi les notations de façon que les indices des variables indépendantes soient 1, 2, ..., p ; alors toutes les dérivées

. . d . . < 3 dyi à di à LU DZ, ‘ OLA D) dy dZ dy1 d£1

ne pourront être nulles pour l'élément initial. Supposons par exemple

que JYPH1 ne soit pas nul pour cet élément ; on pourra alors prendre YA : |

yp+1 pour variable indépendante à la place de 7,. Les indices 1etp pee

figureront chacun une fois dans les variables indépendantes, et les indices qui n’y figurent pas sont p + 2, ..., mn. Si un des indices 2, 3, ..., p figure encore deux fois dans les variables indépendantes, on peut recommencer la même opération, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on arrive à un système de À variables indépendantes où tous les indices sont différents. à |

Ce raisonnement prouve en même temps que le nombre À ne peut être supérieur à M. |

‘On peut toujours supposer que les À variables indépendantes sont PAU ns 0 Egja ve 8e Soient

Yh+1 = UhHA (Yu ns Ya East £h), Yh42 = Uh+9; es LP 0

Zh+4A1 — Vh+1(Y1; CN PE PRET .….) £h} 2h42 — Uh+9 5, Zm — Um