CHAPITRE II. — INTÉGRATION D'UNE ÉQUATION DE PFAFF
les expressions de yh+41, :..; Yms Zh41, ..., £m en fonction des variables indépendantes, u,, ..., Um, 0, ..., Um désignant des fonctions arbitraires qui prennent respectivement les valeurs y°»44, ..., z° pour les: valeurs 4°, . : & Yo 2 a44° ..., Zn. Nous écrirons l’expression
de Ym+1 comme il suit (ri) ym41 = w(ys Ye Eux + £h) — UPEEEL ET eut ..—Yh£h
w étant une nouvelle fonction arbitraire qui doit satisfaire à une condition initiale évidente. En portant ces expressions de yn41, ..., Ymu- YmA; £h4H1, ..., 2m dans l’équation de Pfaff (5), et en égalant à zéro les coefficients de dy,, ..., dy,, dz ; dzh, on obtient les expres-
&+4° ." sion des autres coordonnées Yayar tee Up 20 +403 Zu pi72 dou ou Î Yx+1 — £ 2 Uh+1 = <e eg CE Er ennr œ+ 1 a+ 1 at4 du du ver YR= —— + vh#1 PEN TRS 7 Tee d£Zh dZ d£h (12) | du dUh+1 ou = — —— OR a Dr 7 Yi 11 QU FLE) ; RE DÉRTAE Ru à MST En PE RME . y, : Ye Yo
Les formules (10), (11), et (12) représentent la multiplicité intégrale Ma dans le voisinage de l’élément donné (!). Le En particulier si À = m, il y à une seule fonction arbitraire w de m arguments, et les formules qui représentent une intégrale à m dimen-
sions sont les suivantes LC£. Leçons, p. 319, formules (r1)].
L DDR DL | Ym+1 — 1 (y, LUE UPE Zu44° ..., Em) — Say AT a ; DR ne D 0 ere > ss Um En” ds” og on, 16. Résolution de l'équation générale. — Soit w une forme de Pfaff à n variables æ,, æ:, …, æ,. L’équation (14) == X,dni + XLR 50
(1) Garran. Annales de l'Ecole Normale S'upérieure, 3° série, t. XVI, p. 270.
sera immédiatement résolue, d’après le paragraphe précédent, si on à pu ramener cette équation à une forme canonique, où ne figurent que »m + 1 différentielles, quand cette équation est de classe ÿ — 2m + 1. Toute multiplicité intégrale est définie, nous venons de le voir, par un système de m + 1 relations, dépendant de fonctions arbitraires, entre les variables de la forme réduite. Il s'ensuit que toute intégrale de l'équation (14) est elle-même définie par un système de nm + 1 relations entre les variables x; auxquelles on peut ajouter un nombre quelconque de relations arbitraires nouvelles entre ces variables, pourvu qu “elles ne soient pas incompatibles avec les premières.
Les multiplicités RON d'ordre maximum sont donc des
multiplicités à n — (m + 1) — he ie dimensions, siy est la
classe de l’équation w — 0 ; de plus, toute multiplicité intégrale d'ordre inférieur à cette limite est située sur une multiplicité intégrale d’ordre maximum.
Le
Il est facile d’avoir une limite inférieure du nombre Nos IE
En effet si n est ie n — 2p, y est au plus égal hap— à ti
est au plus égal à p, êt RSr suite Gi nd Vin er SJ UE
De même sin = 2p + 1,7y est au plus a à 2p +1,etpar
ec ï
suite n — > p. Dans les deux cas, les HRApIRRE inté-
grales d’ He maximum sont d’un DEUre au-moins égal à la partie
entière de 7 > (CF. n° 6).
La er précédente de résolution du problème -de Pfaff exige la réduction de l'équation w = o à une forme canonique.
Nous allons montrer que les deux problèmes sont équivalents, du moins si l’on demande une solution générale, c’est-à-dire si l’on veut déterminer toutes les multiplicités intégrales d'ordre maximum. Supposons en effet que l’on connaisse toutes les multiplicités intégrales d'ordre n — (m + 1) d'une équation w — 0
à n variables de classe 2m + 1. Prenons en particulier une famille d’intégrales dépendant de mn + 1 constantes arbitraires, de
RE A PR TP RM Ne ca
