Intégrales lieux de caractéristiques. — Quand on a

ramené une équation de Pfaff à une forme canonique, il ne figure

dans cette nouvelle équation que les y variables caractéristiques, et par suite toute intégrale d’une équation de Pfaff est définie par un

certain nombre de relations entre les variables caractéristiques, auxquelles on peut adjoindre d’autres relations, en nombre quelconque, choisies à volonté, pourvu qu ‘elles soient compatibles avec

les premières. Nous allons développer les conséquences de cette remarque. Imaginons que dans l’équation w — o on ait effectué un changement de variables, en prenant pour variables nouvelles

un système de y variables caractéristiques distinctes w,, …., u,

avec n — y variables Uy44, ., U,, Choïsies de façon à former avec les premières un système de n fonctions indépendantes des varia-

bles primitives. Après la transformation, les variables w,, us, … Uy

figurent seules dans la nouvelle équation et, par suite, toute mulüplicité intégrale est définie par un certain nombre de relations où

figurent seulement w,, us, …, Un

OP ae Un) = 0, . UE(us, 4. ay) = 0, ET dl

auxquelles on peut adjoindre un nombre quelconque de relations choisies arbitrairement entre w,, u», …, 7e Considérons une multiplicité intégrale à p dimensions.M, définie

par les formules (13) TR dy (ds, es ta)» Se: u, == Ÿ (15 …. E .(r8) Uyi4 — Rrrtue Ps PE PAL re PACE HE to)

De y Mano cs l, désignent p variables auxiliaires qui ne figurent : pas nécessairement dans toutes les fonctions d;. Les conditions pour que la multiplicité ainsi définie soit une intégrale de l’équation de Pfaff ne renferment que les. fonctions d,, …, Ya : si elles

sont vérifiées, : elles le seront encore quand on remplacera

Pig + Ÿ, par d’autres fonctions quelconques, pouvant renfermer

de nouvelles variables indépendantes. En particulier, la multiplicité M’ définie par les équations |

Ur. La (bts ms to) 9 U, = LUE lo)»

À Uyts boy cos by 0

où Loue nes lp Sont de nouveaux paramètres variables. indé-

pendants de #,, x est aussi une multiplicité intégrale. Or cette