CHAPITRE II. —— INTÉGRATION D'UNE ÉQUATION DE PFAFF
multiplicité M’ est le lieu des multiplicités caractéristiques de
l'équation © — 0,
issues des différents points de la multiplicité A M, On a donc le RASE suivant : (
Le lieu des multiplicités caractéristiques de l'équation de Pfaff w —o,qu passent par les différents points d'une multiplicité intégrale M de cette équation, est une nouvelle multiplicité intégrale M'.
Si la multiplicité M est à p A Ne la multiplicité M' est au plus à po + n — y dimensions, mais elle peut en avoir moins. Elle
. aura ce nombre maximum de dimensions si les y fonctions
UP do sont des fonctions distinctes des po paramètres 4, de, do les n fonctions u,, u», …, u, définies par les formules (19) sont alors en effet des fonctions distinctes des r + p — y paramètres n—y+0. Supposons en second lieu que les y fonctions SIRAIEARE y, des p paramètres 4, …, : ) ne soient pas distinctes, de
telle sorte que le point (a,, Up ve Us y) décrive dans l’espace à
ms dimensions une multiplicité à moins le o dimensions. Nous pou-
vons alors choisir les paramètres /; de façon que les fonctions Ve Le dépendent seulement de p' << p paramètres /,, .…, tr et.
en soient des fonctions distinctes, les paramètres lola ++ l) ne
figurant que dans les expressions Uysgs ce We La multiplicité M’
représentée par les formules (19)est alors visiblement à n — y + p" |
dimensions seulement. On peut encore énoncer ce résultat comme il suit. Soient (u,°, …, u,°) les coordonnées d’un point de M, | D | » à ’ - À é ,
MURS (40) les valeurs correspondantes des paramètres, é,,ta,..., 4015
si l’on donne à ces RÉnUNE les valeurs constantes £,°, .…, 2} les autres paramètres do! js do variant arbitrairement, le point (us, u,, .…., u,) décrit sur M, une multiplicité à p — 9" dimensions
qui appartient aussi à la multiplicité caractéristique
ane 0 2h — m0 ce ernlee AS Le res
La multiplicité M, et la multiplicité caractéristique qui passe
par un point quelconque de M, ont donc en commun un: multi-
licité d'ordre p — po". Par conséquent lors ue la multiplicité inté- P PASSE q qg P
grale M, et la multiplicité caractéristique qui passe par un point
quelconque de M, ont en commun une multiplicité d'ordre po —p",
le lieu des multiplicités caractéristiques issues des différents points de M, est une multiplicité intégraleM' à n — y + p'dimensions. | |
Il résulte-des propriétés précédentes que les multiplicités intégrales d'ordre maximum sont composées de multiplicités carac-
téristiques. En effet si M, est une intégrale, sans être un lieu de
caractéristiques, le lieu des caractéristiques qui passent par les
différents points de M, aura évidemment plus de os dimensions. Pour obtenir ces multiplicités intégrales d'ordre maximum
ns
, il suffira de prendre le lieu des multiplicités caracté-
ristiques issues des différents points d’une multiplicité intégrale .
— opens). d'ordre ? , n'ayant aucune multiplicité commune avec la 2 z
multiplicité caractéristique qui passe par un quelconque de ses points. Ces intégrales sont représentées par les formules (19);.où
