CHAPITRE II. — INTÉGRATION D'UNE ÉQUATION DE PFAFF
gration de Cauchy pour une équation aux dérivées parüelles du
premier ordre.
Inversement cette méthode s’ en déduit très facilement comme
cas particulier. En effet, l'intégration de LÉNOUCS aux dérivées
partielles
(20) | TRUE Lgs ve) UE P2 cs Pa)
: revient à la recherche des DUPUIS intégrales à x dimensions de « à équation de Pfaff |
(21) | « o = fa, , se a a pt, = dE — 01
Le covariant bilinéaire w' a pour expression co 5fdx, — dfôæ, + pets — dpôx, + … + Ôp,dx, — dp$x, ; pour avoir les équations différentielles du système caractéristique
S;, il n'y à qu'a remplacer de et Ôs par fdx, + … + p,dx,, FIL + … + pÔx, a dans w', et à égaler à zéro les
cœfficients de x, 7e RE ÔP2, »+. 0p,. On obtient ainsi un système
de 2 n — 1 équations différentielles
LT
> pa ne Se | £ A 0 TE à PORT | (22) dpa Se ee ESA € p. ae br SUD, Eæ ee E EYE 2 d%ss
de =) f—p: Mo — pa SE | da.
L’équation w — 0 admet donc des caractéristiques à une dimen- Sion ; de tout élément de l'espace dont les coordonnées vérifient la Fr (20) part une de ces caractéristiques et une seule en général. Le lieu des multiplicités caractéristiques issues de tous les points d’une intégrale M est encore une intégrale. En particulier,
| toute intégrale M, est le lieu des caractéristiques issues de tous les. points d’une intégrale M,,. La méthode de Cauchy se trouve ainsi
rattachée à la proposition plus générale du n° 17, qui s applique à
- toutes les ‘équations de Pfaff admettant des multiplicités caractéris-
tiques.
Quand on applique à l’équation (21) la méthode de Pfaff sous sa forme primitive, il semble qu'elle exige non seulement l'intégra- tion du système (22), mais aussi l'intégration de plusieurs autres systèmes d'équations différentielles d’ordre 27 — 2, 2n — 3, successivement. C’est là une infériorité apparente de la méthode de Pfaff, mais il suffit, comme l’a montré G. Darboux, (voir n° 10) de diriger convenablement les calculs, pour retrouver les
résultats de Cauchy. Sorent Na) X AP, .…, P, les intégrales principales du système (22), c'est-à-dire celles qui se réduisent respectivement à æ>, ..…., æ,, £, Pas :.., p, pour &, = x,°; prenons pour nouvelles ue &, et ces intégrales principales. Dans les PRIS de transformation
Lo — F,(x, 0 5 Ko. P mE rs Ly + DÉS: LAB X, rs 1 EE A (23) be = GR PS PE 5 Pa Para 24°, X 2... Pu) 2 OST X EE NE),
les seconds membres représentent précisément les solutions de équations différentielles (22) qui, pour x, — æx,°, prennent les valeurs: Xe x phoeote Z respectivement. Après le changement de var Fe (3), l'édu tue w — 0 se change en une équation où ne figurent que les variables caractéristiques X>:,.., P,, Z, et leurs différentielles. On a donc une identité de la Re
w = K [U,4X, +... + UrdXs + V,dP, + :.. + V,dP; HaZ],
les Poe U;, Vi, H ne dépendant que des variables X;, Px, Z.On peut encore Ne (n° 10) que le facteur K se réduit à l’unité pour æ, —x,°. En supposant x, — æ° dans l'identité précédente, on en déduit que Pona
Ü; — P, Vreso, (= D DES à Le à et l'équation w — o est ramenée à une forme canonique (24) P,dX, + …. + P,dX, — dZ — o,
après le premier changement de variables(23) qu’exige la méthode de Pfaff.
Observons en passant que la forme elle-même est de classe 2n si f contient la variable z, et de classe 27 — 1 si f ne dépend pas de .
rh NE
renfermant la dérivée p; par exemple, désignons par f{(æu, ...» ns 2;
: DEL EET der à p} ’ à ; k Q CT on remplace les dérivées Lu 2, sf par leurs expressions tirées des ROLE à
toutes les multiplicités intégrales de l’équation de Pfaff
RS RS ds Led So CON de dd
nique.
aussi très aisément à la méthode de Pfaff.Soiten effet z — (xs, ... Æn;
