CHAPITRE II. — INTÉGRATION D'UNE ÉQUATION DE PFAFF
REMARQUE. — On a supposé pour le raisonnement que l'équation aux dérivées partielles était résolue par rapport à l’une des dérivées partielles, mais les conclusions sont indépendantes de cette hypothèse. En effet, étant donnée une équation aux dérivées partielles du premier ordre |
ne +...) Lns Z 5 Pis RÉ N A d
P2; +... Pr) la fonction que l’on obtiendrait en résolvant cette équation par rapport à p,. Si dans les équations du système caractéristique (22)
dLi dDi
équations | | :
LL RE EE Ce A ts pers 2 2" a ‘Om de SM. M DR à
on obtient un système d'équations différentielles
di ds PAPE
P; Papa +... + Pan Xk + Zpk°
x= À, pe : Aer di dk Ur
qui, joint à la relation F — o, est identique au système différentiel de Cauchy. Le EL el Lorsque F ne renferme aucune des dérivées pi, on a à rechercher
ds Pad = A Dore PT = 0,
dont tous les éléments vérifient la relation F = o.De la relation dF = 0, on peut tirer l'expression de l’une des différentielles dx:, dz au moyen des autres, et on est conduit à une équation de Pfaff de forme cano-
: 19. Théorie de Lagrange. — La théorie de l'intégrale complète de Lagrange et la méthode de la variation des constantes se rattachent :
di, -.., @) une intégrale dépendant de n constantes arbitraires de
l’équation du premier ordre 2 ; < Pi = FL es Cns £ 3 Pas ses Pn) ;
dans Véquation de Pfaff correspondante
© = dg — fdxt; — padæz — ... D PrndLr = 0
: faisons le changement de variables défini par les formules
op op À met: 05 PERS A TE les nouvelles variables étant Lis ++ Ln; Gi, ... An. En tenant compte de la condition op op op te ÉLEVÉ qe
cette équation. prend la forme canonique
= da +... + À
Res on da
An
L'application de la méthode générale d'intégration d’une équation de Pfaff mise sous forme. canonique conduit précisément à la méthode‘de la variation des constantes (Leçons n° 32).
Les caractéristiques sont définies par les n relations
op . dŸ op dp D
EP, =, . —+b —0, 4. + bn—1 — — 0, dCi di ‘ di À dA n—1 Ch
et dépendent des 2n—1 constantes arbitraires Gite etl Un Un MAN
. Plus généralement, si l’on connaît uneintégrale complète définie par une équation de forme quelconque
VOTES ES A0 d’une équation aux dérivées partielles du premier ordre Ris so" Pis +. Pn) = 0, l'équation de Pfaff correspondante prend la forme ne TR UNE DE 0, 5 da; m7
quand on prend un nouveau système de 2n variables (xi, ax), en posant
Ven Ne ne (= 1,2, vs, 7), (Cf. Leçons n° 38). | | On verra plus loin (Chap. IV) comment la seconde méthode de
Jacobi se rattache à la méthode de réduction du n° 8 d’une forme de Pfaff. LÀ
20. Equations simultanées du premier ordre. — Considérons encore un système de r équations aux dérivées partielles du
» Ru. cétta W 7 “a itX pans CON NT PT TOR TUONT ER. Le QU : | FN
ne Ru T Sp ci" CHAPITRE II. — INTÉGRATION D'UNE ÉQUATION DE PFAFF. . 17. premier ordre à -une seule fonction inconnue,
1 — fi(æ, 17: Lns 2; Pr4As Pn),
(25) P2 = f(Li ss ns Z ; Pr+143 +, Pan); Pr = fr(t;, ME CES Della Pn);
intégrer ce système revient à trouver toutes les multiplicités intégrales à n dimensions de l'équation de Pfaff à 2n + 1 — r variables
(26) Wal, — … + frdr —— Pr+1dÆr441 .….
+ Pnd£n— dz = 0.
Le covariant bilinéaire a pour expression .w" = àf,dæ, — df,èæ, + … ne dfrd&r — dfrTLr =? $ Spradarta — dprsdr ss +... + ÔpadTn— dpnôn $;
en remplaçant encore dz et àz par leurs expressions tirées des deux équations w (d)—0, w (ô)—0, et en égalant à zéro les coefficients de ty, ... ÔÆn, dPr44, . + ., ÔPn, On obtient les équations différenelles des multiplicités caractéristiques de l’équation (26) :
p, is n'OfP.
tr ee dx, + + ne dær —= O0, F
ne — HUE + .. + frdTCr Sn Re ame per
dpri= ie ue ep D 4) AT, + +. + Eur + 2 pris) der, NC) re . 5 . Er . . : % ; ‘ + fi | fi 6 ue Ar >< a a Ée ie dz Lp, jdæ De me Lu CE Ep d£ Pa) “ df,= À de, +..+ 2 da, + fi ÿ2£ dx + +2E dx Ê
Les 27 — 2r + 1 premières équations de ce système sont tou-
jours distinctes, et par suite la classe de l'équation w — o est au moins égale à 27 — 27 + 1. Pour qu’elle soit égale à cette valeur minimum, il faut que les r dernières équations soient des conséquences des premières. Si donc on y remplace dXr41, ., En,
de, dpr+1, .…, dpn par leurs valeurs tirées des premières équations,
les relations que l’on obtient doivent être vérifiées, quels que soient dx, .…, dx. En faisant le calcul, on trouve les conditions
(28) : [pi — fi, Pk — fx] == 0; (z, k —= 1, 2, ..., rm}
le crochet [u, v] ayant la signification habituelle :
- dou f dv 20 OU [ou du Ë =) bi in 11) ere ces conditions (28) expriment précisément que lesystème(25)estun système en involution (Leçons, n° 58). Si elles sont remplies, la classe y de l'équation de Pfaff (26) est égale à 2n — 2r + 1, et les multiplicités intégrales d'ordre maximum sont définies par un système de r — r + 1 relations entre les variables caractéristiques. Ces multiphcités intégrales ont donc 27 —r +i—(n—r + hr dimensions, tandis que les multiplicités caractéristiques ont r
dimensions. Toute multiplicité intégrale d'ordre n est le lieu des . multiplicités caractéristiques qui passent par les différents points
d’une intégrale M;. de l'équation w — 0. Ces dernières multiplicités se déterminent sans aucune intégration, car il suffit d'adjoindre les r équations (25) aux équations qui déterminent une multicité intégrale quelconque à n dimensions del’équationpidx, +... + PrndLn— dz—0.
La méthode d'intégration précédente conduit exactement aux mêmes calculs que la méthode générale de S. Lie (Leçons, Chap.IX), et l'interprétation est la même. En effet, en écrivant que {72 Lns 23 Pr41, +, PDn) est.une intégrale du système (27), on obtient les équations | | |
(9) SA [Pa ES EP —= 0, .…, [Pr = ri] Re
On peut aussi démontrer, comme dans le cas d’une seule équation, qu'un changement de variables permet de ramener l'équation w — 0
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