Remarques sur la méthode générale d'intégration. — Soit

w — o une équation de Pfaff de classe 2m + 1; si l’on connaît une

famille d’intégrales, définies par = relations distinctes, telle qu’il en | 5 P ; q

passe une par chaque point de l’espace, on peut en déduire l'intégrale

générale de l'équation. Soient, en effet,

= 0s = 3 dm —" Gui

les relations qui définissent la famille d’intégrales considérée ; si l’on prend un nouveau système de variables, tel que fi, f:, ..., f, fassent partie de ces nouvelles variables, l’équation w — o sera mise sous une forme canonique

w = Fidfi +... + Frdfm = 0, +

et par suite on pourra obtenir l'intégrale générale (n° 15-46).

Ce résultat peut être généralisé. Etant donnée une équation de Pfaff w — 0 à n variables, supposons que l’on connaisse une famille d’inté- PER àn—r DIRensene. telle qu’il passe une de ces intégrales par

un point quelconque de l'espace, Ces intégrales sont définies par un système de relations distinctes .

fa = Css fr Cr ‘ Lu

et l’on peut encore, par un changement de variables, ramener l’équation proposée à la forme

DE X1dx: + X,dx» + tes + XrdXLr LT 0 ;

les multiplicités intégrales connues My, sont alors représentées par les r équations

T1 an 7 La = Co, ds as ne Cr.

Nous supposerons d’abord que les rapports

a. pe te

forment avec æ, &+, ... tr un système de n fonctions distinctes, cequi

exige que 2r— 1 soitau moins égal à n, et parsuiten— r ae 1, S’il en est ainsi, nous pouvons évidemment prendre r —r de ces rapports pour les variables ær+1, ..., æn, les autres rapports pouvant être des fonctions quelconques de x, ..., Dr end Tes

Sur toute multiplicité intégrale M d'ordre À de l'équation w — 0, LA, Le, ,.. Er Sont des fonctions de À variables indépendantes

Ti — Pi (WU, Ua, ..., Uh), L2 — Pas ..., Tr = pr;

en remplaçant æ1,X», . .., Ær Par 91; ..., pr dans l’équation de Pfaff, et en égalant à zéro les coefficients de du, dus, .. ., dur, on obtient un système de À équations avec n — r inconnues Tr+1; ..., Ln. Ces équations sont compatibles, quelles que soient les fonctions 9, o, ..…., Pr, Pourvu que À soit inférieur ou au plus égalèn—7r, Sih—=n —?, FrH, ..., Æn Seront déterminées dés que l'on aura choisi les fonctions Pis Pas ..., Or. Si h nn — r, les variables Tri: æh devront vérifier À équations seulement, auxquelles on pourra adjoindre n — r — h relations choisies arbitrairement. En résumé, dans l'hypothèse considérée, on Pourra déterminer, sans aucune intégration, toutes les multiplicités intégrales de l'équation de Pfaff, d'ordre inférieur ou au plus égal à n—r. Il n’en est plus de même lorsque les rapports &, Rhone 1 1 AVEC Ti, Ve, .., &r un système de r + s variables indépendantes

(+ s< n). On peut supposer alors que ces rapports dépendent seulement des variables æ4, . .» Tr; Cr4A1, .., Cris, et écrire l'équation

o = di + pad +... + ordtr = 0,

bb du + Le di

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