CHAPITRE II. — INTÉGRATION D'UNE ÉQUATION DE PFAFF

s des coefficients gi étant égaux aux variables &r41, ..., Xr+s, L’équa-

tion w —o étant mise sous forme canonique, il & figure seulement y

variables canoniques 1, y, …., 4. qui peuvent s exprimer au moyen THÉ Liirsn es Dre |

VE — Pis a Lr+s), … J . .….. Lr+s); Je r + S,

et les relations

Pi(u, .., Lr+s) Be Gé, ..) PR CEE …., Lr+s) nd

représentent des multiplicités caractéristiques à n — 7 dimensions de

Péquation w — o.

Soit Mr-r l'intégrale à n — r dimensions représentée par les relations

F Li. = "Li, +.) Lr es Cr),

et Mn-r-sla multiplicité à n—7r—$ dimensions située sur la précédente, dont on obtient les équations en adjoignant aux nd ie les $ équations

DrAA EL T4 1; ee Cri se

{ \ Cette multiplicité Mn-r-s est située sur la multiplicité caractéristi-

que définie par 80 relations Pts, Las... Drts) = Pifat, …, Cürps), (1,2, ss Yh

et la multiplicité intégrale M»r considérée a donc en commun une multiplicité Mn-r-savec la multiplicité caractéristique issue d’un quelconque de ses points. C’est donc un lieu de multiplicités àn—r—s dimensions dont chacune fait partie d’une multiplicité caractéristique. Les multiplicités intégrales Mr de cette espèce ne sont donc pas les plus générales parmi les multiplicités intégrales à n— r dimensions,

et le résultat obtenu dans la DORE hypothèse peut s’énoncer Comme

il suit :

Soit w —o une équation de Pfaff à n variables, dont on connaît une famille d’intégrales Mn-r à n — r dimensions. Si Mn-r na aucune multiplicité commune avec la multiplicité caractéristique issue de l’un quel-

conque de ses points, on peut obtenir sans aucune intégration toutes les”

intégrales de l'équation w — 0 ayant au plus n — r dimensions. Cette proposition généralise une propriété évidente de l'équation

-. dg — fdxs — pidæe — ... — Ont = 0,

à 2n variables (4, .. æXh; £, pa, ...s Pn) 3 ON connaît a priori une famille

d’intégrales à n — 1 dimensions, définie par les relations

POS CT le 2 Co, ….) EYES —= ( TZ — ne G. Fons | 6

qui n’est pas composée de caractéristiques ; on peut donc obtenir sans intégration toutes les intégrales ayant au plus n — 1 dimensions. On peut faire la même remarque pour l’équation (26) à laquelle conduit Le problème de l’intégration d’un système d’équation aux dérivées par- tielles du premier ordre. |

De même, si l’on connaît une famille de courbes intégrales, l’équalion de Pfaff peut être ramenée à ne contenir que n — 1 différentielles :

© = X1d2 +... + Xn 1dXn—1 =0; si les rapports e dépendent d’une autre variable æ,, on pourra obtenir x |

sans aucune intégration toutes les autres intégrales à une dimension de

l'équation de Pfaff.Il n’en est plusde même si les rapports & ne dépenk

dent que des n — 1 variables æ4, do, ..…, Æn—1; dans ce cas, les courbes intégrales æ — C4, ..., Xn—1 — On 1 sontsituées sur des multiplicités caractéristiques.

Lorsque la somme r + s est inférieure à n, la conclusion précédente ne s’applique plus, mais l’intégration de l’équation w — 0 est ramenée dans ce cas à l’intégration d’une équation à un nombre de variables inférieur à n. Il y a donc une simplification du problème. Si le nombre s a sa valeur maximum r— 1, l'équation est ramenée à une forme canonique, et l’intégration est immédiate. Si s est inférieur à r—1, on peut encore, en opérant comme tout à l’heure, trouver toutes les intégrales à s dimensions au plus dans l’espace (21, +, .…., &r4s), etil leur

correspond des intégrales à n —r dimensions au plus dans l’espace

(1, &, .…, &y). La méthode fournit donc de nouvelles intégrales, sauf dans le cas où s est nul. L’équation w — o ne renferme alors que les r variables 1, Le, .…, ær.

M on CO

la ét mn ét à Éd SE +