CHAPITRE IL

FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

22. Définitions et notations. — La théorie des formes linéaires de différentielles peut être généralisée de plusieurs façons. On peut tout d’abord, en restant au point de vue purement algébrique, considérer des formes d’un degré supérieur par rapport aux différentielles, par exemple des formes quadratiques

Y'Axdridrr, RER = NE R STE)

comme celles qui interviennent dans l'étude de la déformation des

surfaces, ou du problème analogue pour les variétés d'ordre quelconque dans un espace à n dimensions. Ces formes sont de vérita= bles formes algébriques par rapport aux différentielles ; quand on effectue v un changement de variables

(1) | Li Qi(Yas Ye +) Yn) EE 2, 4, R), as as +. Yn Étant les nouvelles variables, on doit remplacer dans la forme quadratique chaque facteur dx; par

sr dpi tr fe Tr

et appliquer ensuite les règles ordinaires de la HPANICAUER Le

brique à chacun des produits dr;dxs. ‘:

Mais on peut se placer à un autre point de vue. Si « est une

() Auteurs à consulter :

H. Poincaré. Les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste (tome III) ; Sur les résidus des intégrales doubles (Acta Mathematica, tome IX) ; re silus (Journal de l'Ecole Polytechnique, 1895).

E. Carta. Sur certaines expressions différentielles el le problème de Pfaff

(Annales de l'Ecole Normale, 3° série, t. XVI, 1899). E. Goursar. Sur certains systèmes d'équations aux ‘différentielles totales et sur une généralisation du problème de Pfaff (Annales de la Faculté des Sciences de

Toulouse, t. VII, 1915).

Buraui-Forri. Introduction à la géométrie différentielle, suivant la méthode.

de Grassmann (Gauthier-Villars, nc

forme de Pfaff, I — Î w représente une intégrale curviligne éten- G

due à une courbe C de l'espace à n dimensions. Si, au lieu d’une ‘intégrale curviligne, on considère des intégrales étendues à des multiplicités à un nombre quelconque p de dimensions de l’espace à n dimensions, on les représente par des symboles où

figurent sous le signe d'intégration des sommes d'expressions telles que

Pme NO AR RER Er et le produit dx,dx,, … dx, n’est plus un produit algébrique au sens propre du mot, mais un produit symbolique pour lequel

les règles du calcul sont toutes différentes des règles ordinaires du calcul algébrique. Ces règles, que nous allons rappeler, se déduisent naturellement de la signification Rene à ces produits Non

- Considérons d’abord, dans l’espace à trois dimensions, une inté-

grale de surface I =f fa (x, y, 2) dxdy étendue à un côté

déterminé d’une portion de surface Ÿ, telle. que les coordonnées d'un de ses points s'expriment en fonction de deux paramètres (u, v). Soit R la région du plan (u, v) qui correspond point par point à la portion de surface Y: AAUSEAE de surface I est égale à l'intégrale double ordinaire

‘e D(æ, y) = f fs (æ, y; 2) Da, 0) dudv,

étendue à la région R. Il résulte immédiatement de cette nouvelle expression de l'intégrale qu’elle change de signe quand on per-

Je Adxdy Ji Adydx = 0, 2)' 2)

les deux intégrales étant étendues au même côté de Z > ; ce que l’on peut écrire sous forme abrégée

(2) . dxdy = — dydx.

mute x et y, puisque = 0; On a-donc:

pri

fa Æ

Les Un

RE à

TARDE sa À 4) CSS.

détermi inant |

PARA PMR TRE LE A PUS QE PA RENE me ER EE

| CHAPITRE He FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 8

Le ue symbolique dxdy HA a de pne quand on

permute les deux facteurs.

Cette règle d'apparence paradoxale est, comme on le voit, une

conséquence de la signification même du produit dædy. D'une façon générale, si l’on adoptait la notation ab pour représenter le

pa , il est clair que l’on aurait ab “ ba —= 0.

Considérons maintenant une variété E, à p dimensions de l’espace à n Re ous et soit

I ar tra) dns ae

une intégrale multiple d'ordre p étendue à cette variété (pour sim-

plifier les une nous n’écrirons qu'un seul signe 1 , Ce Qui ne

peut entraîner aucune ambiguïté). | |

Supposons que les coordonnées Lab Le CT Fe de E, s'expriment au moyen de p paramètres indépendants u,,u,, .….,u, RE façon que la variété E,, corresponde point par point à un certain domaine R, de l'espace à p dimensions (4,, u,, …, u,). L'intégrale I est se à une intégrale multiple ordinaire étendue

au domaine ie

é > pe Erin D(a Ds... 2) UNS De dupe . Ua, ..., STÉTE ARR Ne À

où D dn RES ex doivent être remplacées dans F parleurs expressions au moyen de w,, us, .…, u, (op Quand on échange deux facteurs consécutifs dans le A dx,dx, .… dx,, on voit encore que ce Hour change de signe et, par ue quand on permute d’une façon quelconque les facteurs du produit symbolique

({) Quand on permute les variables auxiliaires w;, le déterminant peut changer de signe, les deux signes possibles correspondant aux deux côtés d’une surface dans l’espace à trois dimensions. Nous supposerons que cet

ordre a été fixé une fois pour toutes. | Pour tout ce qui concerne les propriétés des intégrales multiples d'ordre quelconque dans l’espace à n dimensions, je renverrai le lecteur aux Mémoires cités plus haut de Poincaré, .

dx,dæ, HO AICE produit ne change pas de signe ou change de:

signe, suivant que cette permulalion peut être obtenue par un nombre pair ou un nombre impair d’ conte entre deux facteurs consécutifs.

Tout ceci s'étend évidemment à tout produit symbolique de la forme

(3) Fdx, des, .… dx

Xp?

Lys Los +, A étant p nombres entiers différents, pris parmi les

n premiers nombres, si on n'étudie que des intégrales dans

l’espace à n dimensions. Si l’on range ces indices dans un autre . ' ! ! | : :

ordre (x',,@',, .…, æ,), le nouveau produit symbolique

Fdxy, dy, … La,

est égal au premier, ou égal au premier changé de signe, suivant que les deux permutations (a, a, .…, a), (d'ys Ces +.) d,) SON de même classe ou de classes di He

Il résulte aussi de la définition que {out produit symbolique (3), où deux indices sont égaux, est identiquement nul, car le déterminant fonctionnel

a deux lignes identiques.

Les expressions symboliques telles que (3) seront appelées des expressions monomes; F est le coefficient, dx, day, .… dLy, eSt

l’analogue de la SR littérale dans un monome AU er ordi-

naire.

Plus généralement, toute PL nd ne variété d'ordre p de l’espace à n dimensions est représentée par la notation

= fu,

où w est une expression de la forme (4) o = YA y ll lgg ++ ÉLy s

les coefficients An, ... «, étant des fonctions des n variables

js