CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES
Bis Moses LE, 6 la sommation étant étendue à toutes les combinAISONS , us # indices p à p. Nous dirons que w est une forme symbolique de différentielles de degré p.
Il est clair que le degré d’une forme symbolique ne peut dépas-
ser le nombre n des variables, et que toute HS symbolique de
CEE n se réduit à un seul terme On peut supposer par exemple que, dans chaque combinaison, les indices sont rangés par ordre de grandeur croissante, mais
cela n’est pas nécessaire. Quand on est amené à changer l’ordre des facteurs dans un produit symbolique tel que dx, dx, … Tps
le coefficient correspondant doit être changé de signe si la permu-
tation change de classe. À chaque combinaison d'indices D'At0: correspondent donc pl'fonctions A, a, a, quine peuvent diffé-
rer que par le signe, deux fonctions À, 4, ay Et Ag og! +++ dy Stan
égales si les deux permutations (x, «,, …, a) et (a,, «',, …, x!)
sont de même classe, et de signes différents si les deux permuta-
tions sont de classes différentes.
Cette remarque trouve son application dans la réduction des termes semblables, c’est-à-dire des termes où figurent les mêmes
différentielles, à l’ordre près. On peut toujours ramener les termes
semblables à contenir les différentielles écrites dans le même ordre, en changeant, s’il est nécessaire, le signe de certains coefficients. Cela fait, on peut ensuite remplacer tous les termes semblables par un seul, dont le coefficient est égal à la somme des coefficients de tous ces termes semblables, Par exemple, on a
È Adxdydz + Bdydszdæ + Cdxdsdy —(A + B— Cdxdydz.
La somme d’un nombre quelconque de formes symboliques de degré p est une forme symbolique du même degré dans laquelle on pourra réduire tous les termes semblables à un seul, en appliquant la règle précédente (°).
Remarque. — On pourrait ainsi convenir que, dans le second .
membre de la ee (4), la sommation est étendue à tous les
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(:}. Une forme est dent nulle lorsque, après réduction des termes semblables, tous les coefficients sont nuls.
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arrangements p à p des n indices, en tenant compte des relations qui existent entre les coefficients correspondant à une même com binaison. Il est alors entendu que chaque produit
est mis à la place de
Pen te ts du,du, … du
Uy, Uos ..., U, étant p paramètres auxiliaires. La somme des termes qui se déduisent de l’un d’entre eux par une permutation dans l’ordre des indices est bien égale au produit
Dir 2 FIRE EVA . . Up «4° A9? 4 Xp) du,du, ... du,.
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On se sert aussi quelquefois de p systèmes différents de différentielles, chacun d’eux correspondant à une des variables auxiliaires. Par exemple, une forme du second degré
Di D Axdridær s’écrira aussi, avec deux systèmes de différentielles, à —= d'A (drdTr — drrdti),
la sommation étant étendue à toutes les combinaisons des n indi-
ces deux à deux.
23. Changement de variables. — Considérons d’abord le produit symbolique dx,dæx,, et cherchons par quelle forme symbolique on doit le remplacer quand on remplace les variables x; par de nouvelles variables y; liées aux premières par les relations (r).
Si les nouvelles variables y; sont remplacées par des fonctions de. deux paramètres auxiliaires u, v, les variables x; se changent \ aussi en des fonctions de ces paramètres, et le produit dx,dx, doit |
être remplacé dans tous les calculs PRET dudv. Mais on a, ( ;
d’après les formules classiques du changement de variables dans | \:
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