CHAPITRE I. — nd ou don DE DIFFÉRENTIELLES
Considérons maintenant deux Rent quelconques, de degrés p et qg Deep |
Up — = DA .. ap Ta LT .…. AL
et imaginons qu’on effectue successivement le ae, de chacun
des monomes de w, par chacun des monones de w, d’après la règle précédente, puis qu’on fasse la somme de tous les monomes obte-
nus, en réduisant les termes semblables. La nouvelle forme ainsi
obtenue est par définition le produit symbolique SEE pis formes Wp, 07, et se représente par Wpbg;
ue D ee . apP8,8; réa PT be dt, AT, re dtp,-
Il est clair que ce produit symbolique est de degré PT; on aura donc wpwy — 0, si la HA + g est OS à n, puis-
qu'iln’y a quen facteurs dx; différents.
La multiplication symbolique est évidemment une opération distributive ; on a RES &, o,(0, + w3 + M her ht Duo ou EDR Cu ( ïe CRICA + w,)— ds 54 0,0, + &,0;, in 04.
Mais opération n'est pas commutative. et on échange les
deux facteurs wp, wg du produit symbolique, on voit facilementque chacun des monomes de ce produit est PURES par (—1}9;ona donc
Gr dog = (—1 Togo.
, Si les deux nombres p et g sont impairs, on a
(6) AE Opog + wgüp= 0;
si l’un des nombres p ou q est pair, on a, au contraire, | 4 11 j —
(6) ; D'NT Mer ete Cle de
Supposons en particulier wg — wp ; si p est impair, la relation (6)'
: : LE $ \ AE! 2 ‘ ' À pe 2 , 9 y ' £ ÿ prouve que le produit w,.0, = (w,)? est nul. Le carré d’une forme
symbolique de degré impair est donc. PC nul identiquement.
Le produit symbolique d’un nombre quelconque de formes symboliques op; gs r, +. Se définit de proche en proche comme le produit algébrique d’ un nombre quelconque de facteurs. Par exemple le produit wpwgor s'obtient en effectuant d’abord le produit symbolique wpwg, et en multipliant ensuite ce produit par w,.. Il est clair qu'il faut ici tenir compte de l’ordre dans lequel on écrit les | facteurs, à moins que tous ces facteurs ne soient de degré pair. Supposons que, dans le produit symbolique
e CE e Æ ' , s, | 14 nous intervertissions deux facteurs D My de degrés p et q respec-
tivement, séparés par plusieurs autres facteurs dont la somme des degrés est égale à 7, r étant nul si les deux facteurs os ©, SOnt
consécutifs. Pour faire cette opération, on peut faire passer w, devant ou puis faire passer », à la suite des autres facteurs qui séparaient o et w,. Il est clair que. cette opération revient à faire une reine substitution sur les rangs des différentielles d’un
quelconque des monomes qui figurent dans le produit symbolique. Pour faire passer w, devant o, On à à effectuer en tout g(p +r)
échanges entre deux facteurs Li consécutifs dans chacun de ces monomes : ; pour faire passer ensuite o, à la suite des facteurs qui
précédaient o., 11 faut faire de nouveau pr échanges de deux fac-
teurs dx; consécutifs. Le produit symbolique est donc multiplié par NES | — 1) +) pr = (— 1)9p+rlp+9) ;
s'il n ‘yapas plus d’un facteur de degré. impair dans le produit symbolique, un seul des trois nombres P + q{, pq, r peut être impair, et le nombre pq + r(p + q)est toujours pair. Dans ce cas, le produit symbolique est indépendant de l’ordre des facteurs. Si les deux nombres p et q sont de même parité, p + q est pair, et pq est pair ou impair suivant que p et g sont tous les deux pairs outous les deux impairs, Donc, quand on échange deux facteurs
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