CHAPITRE II. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

dont les degrés sont de même parité dans un produit symbolique,

ce produit ne change pas si ces facteurs sont lous les deux de degré

pair, et il change de signe s'ils sont tous les deux de degré impair. Il en résulte que {out produit symbolique, qui renferme deux

.J'acteurs identiques de degré impair, est identiquement nul. Car

ce produit doit changer de signe, quand on échange « ces deux fac-

teurs. * | La puissance mi" symbolique. d'u une forme + est le produit sym-

bolique de m facteurs identiques à w. Toute puissance d'une forme

de degré impair est, d’après ce qu’on vientde voir, édentiquement

nulle. I] n’en est pas de même.en général des puissances d’une forme de degré pair. Supposons s'écrit sous la forme L'AUTRE \

D die ER Mrs

643 ©9, +, ©, étant des monomes. Comme le carré d un monome est

toujours nul, on a "a (0) % + 0,0, +. + 0,0, + 0,0, + …. + 06, ,0,)

car le produit de deux monomes dé degré pair est indépendant de l'ordre des facteurs. On a de même |

TESTS PE , af — 4 du + 0,0, + +0, 20, 10m)

et d’une manière générale, w? s'obtient en multipliant par p! la

somme de tous les produits p à p des r monomes w,, w3, .…., we Pour justifier la définition d’un produit symbolique de plusieurs formes, il est essentiel de démontrer que cette définition.est indé-

pendante du choix des .variables indépendantes. En termes plus

précis, soient w,, w2; .…, »,, plusieurs formes et w leur produit symbolique. Si l’on fait un changement de variables quelconque, les formes w4, w3, ..…., w,, Se changent en de nouvelles formes 5,, 5,, .… D, w Se change en 5, et l’on a encore entre ces formes la relation

D — WiDo9 "ie LP

Cette propriété, qui joue un rôle capital dans la théorie des for-, mes symboliques, est encore une Ne ie des formules Fo changement de variables. NRA ELA AE

PA NET E RUE No te FY,) , #S pu pe é

Puis simplifier l'écriture des formules, SORA d’abord deux formes monomes

by, = AdT/OLUR., a, == Darv,dr:, et leur produit symbolique o— ww, = ABdzx,dx,dx,dx,dzx., les coefficients A et B étant fonctions de n variables indépendantes Lys Las +.) Le En introduisant un nouveau système de variables Yas Yes +. Yu ©, Se change en une nouvelle forme | D(xs, ds, ds) | 5, — À dyrdyidy;, a 2,5 D(y»; Yi yj) PREAES la sommation étant re à toutes les RSR 3à3 desn indices ; w, se change de même en une nouvelle forme

D(xs, 7)

d s D(yrs D Dune

FRESe

la sommation étant PAR à toutes les combinaisons des n indi-

ces 2 à 2. Dans le produit symbolique

CES AB 2,5 LL a, al ren dyndyidy;dyxdyr,

D(yr, yi, yj) 4 D(yx, y)

le produit ee se no e évidemment plusieurs fois. Calculons par exemple le coefficient de ee Si nous posons pour abréger

Dia, as mi MR bre en h =, [eq Cet) GE JE D{yn; yi, yÿ) Le D(yx, y) ?

ce coefficient est égal, il est facile de le voir, au produit de AB par

la somme

(1,2, 3)L4, 8] — (a, à, 4) [3, 5] (a, 2,5) (8, 4] (184) 2,5 — (1,3, 5)[2,4] 4 (1,4, 5)[2,3] — (2, 3, 4)[x, D] + (2,3,5)[1, 1 or (8 4,5)01, 8128406) [re] Or cette somme est égale, d'après une propriété connue des déterminants, au déterminant

D(x1, To, l3, Lys Lys) D(71,,Y2 Yes Yys Y5) ?

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