CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES. LAS à

supposer & — 1, et résoudre ce système par rapport aux déri-

vées .. ,. ce qui donne un système de la forme ” es

doi :

ee X(o, Pas +. On) (E—1,2,.., n).

L'intégrale générale dépend de. n — 1 constantes arbitraires,

abstraction faite de la constante que l’on peut toujours ajouter à Yn. Soient, pour fixer les idées, P,, P,,..., ®,, un système de

n — 1 intégrales premières distinctes des équations

audæi + de + CarndEn CAR GdX + .. + ConlLh 2%) ù __ midi + + E AnndEn | — 2 | ;

posons Pline! Tn) = Yan en bn Pi (ns ns D) Ya:

En prenant y,, ÿs, .…., Yn—1 comme constantes d'intégration, les formules qui donnent l’intégrale générale du système (12),

Li — oi(Yi» Yo) Tr Yn—1 : Yn)s

définissent un système de n fonctions distinctes de y,, Y2,..., Yn satisfaisant aux conditions voulues. La fonction Y, est nulle, tandis que la fonction Y;, qui satisfait à la relation ui — Lrestideils

| | Yn forme he D;(Yas Yos Yn—1). Par le changement de variables que nous venons de définir, la forme de Pfaff donnée w se change donc en, une nouvelle forme de Pfaff

Q — eln [D,dy, + ….. + Pr-1dyn 1|,

D,,P,, …. bn 1 étant des fonctions des 7 — 1 variables y,, …, Yn 1 seulement. | | 20 Si le déterminant A est nul, ce qui a toujours lieu lorsque 7

est impair, le calcul précédent ne s'applique plus. Mais on peut

alors satisfaire aux n équations

(14) @ÿi de, + re + Air Xn — O (a 1,2, mens ni),

par des valeurs non toutes nulles de dx,, dx,, …, dæn. Soient

(15) 1 = + RACE À —= dyn

un système de solutions : de ces équations. On peut avoir MX, +. + MXn 5 0, où À,X, + … + \Xn= 0. Dans le pre- ‘

mier cas, nous supposerons que l’on a Yux; — 1, ce qui est k L ;

permis, puisqu'on peut multiplier tous les X; par une fonction

arbitraire. Les calculs qui ont été faits plus haut prouvent que le

système É

(10) Ya r, ARE | dYn

et le système S

à € pi) | < n) L p) ) \ PR | LEA NES OPUS (ar) Xp Er, 14 9.\g S20 ( > dYn Yi Vus dYn « IRA=A k=1 h=1

sont équivalents. Par suite, si les formules Ti 9 UP RRRONE ENT PS représentent l’intégrale générale du système ROTAUANE RME PL

désignant 7 — 1 constantes arbitraires autres que celle qu’on peut a toujours ajouter à Yn, ces fonctions vw; sont des intégrales du Sÿse ER tème (10)', et le changement de variables correspondant conduit de |

la forme donnée w à une nouvelle forme de Pfaff ta 1

O—Y,dy, +... + Yh idÿn.; + dYn; |

BUY ER Ne ne dépendent quede ve ss Yn-1. 4

Si l’on a AX, + XX, + + + AnXn—0, on voit de la même façon que le même changement de variables conduit de la forme donnée w à la nouvelle forme de Pfaff |

nn Y,dy, + .. + Ynidyn-s,

BAY PE Y eine dépendent TON CAT ANNE PRE 2 On peut donc toujours, par un changement de variables con-