CHAPITRE 1. — FORMES CANONIQUES. ï

venable, ramener une forme de Pfaff w à n variables à l’une des ' Li]

trois formes

(1) | Un (Y,dy, 4 @ Fe a ES Vn OURS (I) Yidy ET on 35 Yn1dyn-1 AU dYns (II) > ACTE A AU

Y,,.…., Yn 1 ne dépendant que de y,, y, ..…, Yn-4.

On a écrit y au lieu de e7” dans le cas de la forme (1), ce qui revient à changer la dernière variable; remarquons aussi que quelques-uns des coefficients Y,, …, Yh, peuvent être nuls.

Appliquons ce résultat aux cas les plus simples : n—2, n —3. 2X: 2X2 } Si

| TL? DL: &s = 0, on sait que w est une différentielle exacte dy1. Si ay n'est pas nul, le système auxiliaire (14) est

SN Da CR ra on Ac = lo +

c’est-à-dire l'équation « w — 0 elle-même. Si y, —C est l'intégrale générale, la forme « peut donc s’écrire y»dy,, comme il est bien connu. . Soit © = Xidxs + Xode + Xsdæ3 On a dans ce cas A = 0, € et le sys-

tème (14) est ici

dy2dLa + sdXs3 = 0, Audxi + oi —=0, aydæCi + a39dXs = 0. Si ao — Go — ay = 0, w est une différentielle exacte dy. Si ces trois coefficients ne sont pas nuls, on tire des équations précédentes

d£i ue ds ee ds C£ER ds - 12

Supposons d’ dl que XQ3 5 X,a 31 + X3aye ne soit pas nul; on.

peut satisfaire aux équations du système (15) et à l'équation

x D d'A dXz PRE Xo — + X3— — er dy + A3 dy

Soient æi — pi (y1, 2, ys) l'intégrale générale de ce système; on a vu

que, par ce changement de variables, w prend la forme

Yidys + Yodye + dys,

Y; et Y2 ne dépendant que de 41, y2; Yidys + Yedy: ne peut être une différentielle exacte, sans quoi on aurait @ye = @23 = @34 = 0. Donc, par un nouveau changement de variable, w prendra la forme £:d2, + dys.

Vis Un

Pr. LT. 08 WU SORT SEEN LA Va MINT 4 PRESS A 4 LUS 0 OS CL TS PUS (Te F à

Si l’on a X1@23 + XeQy1 + XsQye = 0, Sera der sr à la forme yeodys, résultat classique.

De la proposition précédente on déduit sans peine, comme l’a

montré G. Darboux (), le théorème fondamental suivant : Toute forme de Pfaff w peut être ramenée à l’une des deux formes suivantes :

(x) RP EL ANT EE End Y ny yras (B) | dy Te + 8,dys, où les fonctions y, 2x constituent un système de variables indé. pendantes, c’est-à-dire de fonctions indépendantes des variables qui figurent dans v. | La proposition est immédiate pour une forme à deux variables, et nous venons de la vérifier pour une forme à {rois variables. Il suffit donc de démontrer que, si elle est vraie pour une forme à n — 1 variables, elle subsiste pour une forme à n variables. La forme w étant ramenée à un des trois types (1), (D), (HI), il est inutile de considérer le type (I) qui ne dépend que de ñn — 1 Väriables et pour lequel le théorème est admis. Quand aux types (1) et (IT), on peut y remplacer la forme à n— 1 variables

Aya, + — PER TPS

| par un des types (x) ou (B). On obtient ainsi pour la forme w une des quatre expressions suivantes :

Yn (dv, + +. + u,dv, + Goes) pr OS TE a dv), u,dv, +... + 4,dv, + dyn, u,dv, + … + a, dv, ae dv, 4 + dyn,

les variables w;, vu étant des fonctions indépendantes des varia-

bles y,, .…., yn 1. Les deux dernières expressions sont immédiate= ment mises sous la forme («), en écrivant dans la dernière

Three V,41) au lieu de d,21 + dyn.

La première peut s’ ue

situe Hier UO dv, + w y p+4)

(‘) Sur le Problème de Pfaff. Bulletin des Sciences mathématiques, 2e série, t. VE, 1882, p. 26. 28 |