D — DID

et la démonstration s'étend évidemment au produit de deux monomes de degré quelconque. Si les deux monomes w,, w, ont une différentielle commune dx;, le produit » est identiquement nul. Il en est évidemment de même du produit symbolique 5,5,, Qui contient deux facteurs identiques du premier degré. -

Il est à remarquer que la règle du changement de variables (n°23) dans le monome Adz,, 127 dre, revient à effectuer le pro-

duit symbolique obtenu en donbieant dx. de, , Par leurs

expressions développées.

Considérons maintenant deux formes quelconques

Lo open te ee has istper + + Q,,

w;, Qz étant des monomes, On a

Soient w, m5, Go, ..., me Il, Il, I... Ir, Ce que deviennent les for-

MES ©, G4, .., Om ra 0,7. 0 par l'introduction d’un nouveau

système de variables ;

D = Gi + © + + + wm), HE Ds 40 40m

Le produit w;Qz se change en 5:11, et par suite le produit wQ se

change en l'expression m J

D > ill , TN EE Ve

qui est identique au produit (5, . + Sn )(N, +... + 117) des deux formes transformées. Le ou est donc vrai pour le produit de deux formes quelconques. Par un raisonnement bien connu, on en conclut qu'il est vrai aussi pour le produit d’un nombre quelconque de formes.

. Application.— Nous dirons que p formes linéaires js O9 +.) Op sont indépendantes lorsqu'il n’existe aucun système de coefficients ls 5 +, À, dont l’un au moins n’est pas nul, tel que l'on ait

nb:

(7) Lo, + ku +. NAS RAR

Pour que le produit si symbolique de pformes linéaires soit nul, il faut et il suffit que ces p formes ne soient pas indépendantes .

10 La condition estsuffisante. — Supposons en effet queles p formes 4 ©9) +, ©, Vérifient l'identité (7), le coefficient À, par exemple n'étant pas nul. On peut alors écrire cette relation

Op — HO + Hoûs + + Up Op 0 et le produit