CHAPITRE II. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

# SO ne peuvent être nuls à la fois. Nous supposerons par exemple que

le déterminant

Ai Aro MeNRER n’est pas nul, de sorte que dx, dx», .…., dxx peuvent s'exprimer | linéairement au moyen de 64, We, ..., 0x, dÆx+44, , En. Soit maintenant Q une forme telle que l’on aït à la fois Qw, — 0, Qw,—0,.…., Qwz —0; nous voulons neutres que @ est divisible par le produit symbo- lique 0, … w4. Le théorème étant admis pour k — 1 facteurs, on

a de Ê == W10 Uni à

et la forme 9, peut s’écrire à son tour o, où Qog + @,,

Q, et Q, ne Re ten que les différentielles darts, : Re PTE et un via quelconque de Q, étant CET par une des formes &,, ..., Wp 1. On a donc | TO — 0, a wr 1(Q, + Qu), Qwy = w 102 LR wk1Q We : Pour que Qog soit oi nul, il est. nécessaire que Q: soit identiquement nul. Soit en effet

| ue RS > Aÿ..1dxidx) … Ti ee

un terme quelconque de Q,, tous les indices #, 7, …, l étant supé-

rieurs à 4. Le coefficient de dx, … dæxdxidx; … dx dans 0x

est au signe près A;;..1A; il faut donc que l’on aït A;;..,, = o pour toutes les combinaisons d’indices, et par suiteona =

Q = LH 0,040, .…. Oy1uRe

Il suit de là que, st une forme Q admet r diviseurs linéaires

OR PT LR TT ml th / L EX © AD

distincts et r seulement w,, &,, …., wr, celle forme est égale à à un produit symbolique de r + 1 facteurs (8) L Q = COMONMOP PA LOT la forme Q, n'admettant plus de diviseur linéaire. Cette décomposition peut d’ailleurs être effectuée d’une infinité de manières. Si l’on pose en effet | Or = Gr + AroUs + + + Arrr,

le déterminant des coefficients aix n’étant pas nul, on a

CN Ai9 ,.… ir Goes sie ; Gzr ri (lo Mers Œrr

et Q est aussi divisible par le produit 5,5, ... sr. EN,

Remarque. — Soit à une forme de degré n— 1 à n variables ; le

produit symbolique a(a,dx, + .… + a,dx,) contient un seul terme

en dx,dx, … dx,. Ges coefficients à; sont assujettis à vérifier une

seule relation linéaire ; il y a donc n — 1: diviseurs du premier degré linéairement distincts et, par conséquent, {oute forme Q de

degré n — 1 à n variables peut être représentée par le produit

symbolique de n — 1 facteurs linéaires (CF. n° 27).

ExemPLe, — En dehors du cas que nous venons de citer, une forme

symbolique quelconque n’admet pas en général de diviseur ie si

ses coefficients sont arbitraires. :

__ Considérons par exemple une forme du second degré à quatre variables.

Q = Awdridre + Asdaidzæs + A:,dæidx, + ris + Andes + Audat3dXs ; ,

le ps (dx + asdXs + a3d23 + ads) as dio est AL à (A12z3 Au23%0 - A2s4)drt1d22423 - (Aya — Ayyte + Agti)dtidr2dx, + (Aus = Ausas + Aso)dæidrs:dr, + (Asa, = At - Assadæidæsdx,.

AS, Matte y

£ CHAPITRE IT. — PAPA EeROEIQUES DE. DIFFÉRENTIELLES. 101

Pour que ce produit soit nul, les énefRotene Aer a, 43, a, doivent

VS ve vive

vérifier les quatre relations s à - { Asa ee Auto de PASS = 0; | dei — Aus + Ausuy — 0,

Asso — A VYCE + As3%,y ei 0.

11 faut donc que le déterminant symétrique gauche -

0 A2 — As A3 — As ( FA 7 À; *A4s — A4; EE A3, = A3 A5 S A3, C0

= — (AioA3; + AysAyo + AA)?

APR aIE PA PE Aro

ee 22

soit nul. S'il en est ainsi, les équations (9) se réduisent à deux équations distinctes, et la forme Q admet deux diviseurs du premier degré

linéairement distincts. Il était évident a priori que si Q est divisible

par un facteur linéaire, il en admet une infinité. Si l’on a mis Q sous.

forme d’un produit symbolique