CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

La forme dérivée w' d'une forme de Pfaff est donc identique, au signe près, au covariant bilinéaire (n° 8). Nous allons montrer dans ce paragraphe que les propriétés

essentielles du covariant bilinéaire s'étendent à la forme dérivée

d’une forme de degré quelconque. Nous allons d’abord démontrer que w’ est un covariant de w, relativement à tout. changement de variables. Si avec des variables nouvelles Yi» Yes Yns la forme se change en s:

RES ban dy.

la forme w’ dérivée devient, avec les mêmes variables, la forme s’

o! — Nate + en ce, I ay “7 IP à RE EX

Prenons, pour simplifier l'écriture, une forme du second degré,

et soient - FE | ü—= d'AxdridtR, D— D Bxdyidyr AA SE TS VE deux formes symboliques qui se déduisent l’une de l’autre par un changement de variables æ;— œi(y;, ÿ2, +. Yn). Supposons que

Yas Yes ses Yns t par Suite TL, L,, ...,Æ, Soient exprimées au moyen

de trois paramètres auxiliaires u, De Les formes w et « devien-

nent respectivement

CE | D(xi, TR) Dxi, tr) D(xi, æh) o= YA mnt er LE D eue à da

ANR (DAT ny OD(BLPRN Er LU DIEY Fe ] Br} D(4, ») dudv + D dodo + D(w, HU

En égalant les coefficients de dudv, dvdw, dodu dans identité w— #, on a donc les trois relations

= B D A D(xi, th) - marne D(yi, y) j

D(a U, D(a, v) DE ie Dr D(yi, y) | Fe *# D(, w) ?

D(æi, th) D(yi, yn) - | Re: 528 »

Zu D(w, D(w, u). 5 * D{w, = b 14

DT NEC PSN NÉ TE NT EN PL M EE ATARI AE e PTE ET EE IP LEE ÉLrARE FAUPE Ve TE RTAITR x Dr A : LEE TOME EC EN MER 2 ut =

ET , Lt

Différentions ces trois relations par rapport à w, u, v respectivement et ajoutons les relations obtenues : en tenant compte de l'identité | |

se Dee) Ÿ sa (De + DA} 0,

il vient une nouvelle relation

Aix D(xi, @) 2&1 | Di, æx)oæ Dix, æx) 0!

: i, ke, l DL) D(u, v) aw D(v, w) du D(w, u) av

nn Bix | D(yi, yx) dyr “ D(yi,yr) dyr + D(yi, yr) dy1) | P. y OYt | D(u,v) où * D(v,w) ou . D(w,-u) dv (

ou plus simplement |

D dAïk D(xi, æk, Tl) D 2Bik D(yi, LE yi)

day D(u | D) ar Va (4, v, w) Mr dy D(u, v, w)

On peut encore écrire cette relation en multipliant les deux membres par dudodw, #3

> Rae > . dyidyxdy,

i, k,l “e ik, .

ou | (13) D dAindrider = dBydyidyn.