CHAPITRE 1. — FORMES CANONIQUES

en posant W, — Ynly, +, Wy—= Ynüy, Wyys — Yn, et 1 est clair que 0,,..., Uiyys Wy,..., W,., SOnt des fonctions indépendantes des variables qui figurent dans w, comme les variables u;, 0x, Yn.

La deuxième expression s’écrira de même

w,dv, + … + w,du,.

Le théorème est donc établi, mais ce premier aperçu laisse subsister bien des questions. En particulier on ne voit pas a priori quelle est la valeur du nombre p. Nous laisserons de côté les

divers-perfectionnements qui ont été apportés successivement à la

méthode primitive de Pfaff, pour exposer les méthodes plus récentes fondées sur les propriétés invariantes de certaines expressions associées à une forme de Pfaff (!). Remarquons toutefois que le système (14) va jouer un rôle fondamental dans la suite.

3. Covariant bilinéaire.— Soient y X;dx: et, D Yidy:i deux L 1 et

ARE d’une même forme de Pfaff w au moyen de deux sys-

tèmes de variables différentes ; nous supposerons, pour fixer les

idées, que les variables x; s'expriment au moyen des variables y; par les formules (6). Si, dans l'identité

Éxan— van

on remplace y,, .…., yn par des fonctions de deux paramètres

variables indépendants w et v, æ&,, æ, .…., Æn Sont aussi des fonc-

tions de ces paramètres, et, en égalant les coefficients de du et

. de dv dans les deux membres, on a les deux relations