CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES
On a
‘a! He (AdB + BdA)dr, … de, dep, … de
Ba
— dAdzx, Le, ne de, (Bdrs, « - dtp, ) ds —1)Adx, … dx, (dBdxg ….c Æ ions ca FUN. éc'est-à-dire : | 438 é RATS E | 0 ne | | (oo) = 00, + (—i)Puw,. ne En reprenant le raisonnement du n° 24, on voit que.la formule +: :S60i est vraie pour le produit de deux formes symboliques quelconques. . A Plus généralement, la dérivée d’un produit symbolique de m for- 10 MES W,, W, .«.., W,, à POUrT EXpression | : 10 : ; ? + F : | 104 (14) (ww, + op) = o',0, … on Si w,0", SHARE TVR er HUIT O0 m? 7% ce qui montre que Fe dérivée di un REG est nulle, si chaque fac 1 teur a une dérivée nulle. ee ne.
D On a déjà observé (n° 8) qu’une forme de ie w est une diffé D: rentielle exacte lorsque la forme dérivée w' est identiquement 3 = nulle, et dans ce cas seulement. Si on convient de regarder une 1 fonction ordinaire des variables Lis Lys +. Ly COMME Une forme ‘72 » £ d'ordre £éro, on peut dire que toute forme du premier ordre, dont la dérivée est nulle, est elle-même la forme dérivée d’une forme d'ordre zéro. La propriété précédente peut alors être considérée Re comme un cas particulier de la proposition générale suivante : Ton Pour qu'une forme w de degré p Soit la dérivée d’une forme de ne degré P — I, il faut et il suffit que la dérivée w' Soit Te PART ment nulle.
: On peut vérifier immédiatement sur les expressions (rr) et (2) 20 - Û nl | e ! NE . ‘ ae En des coefficients D, ap de w’ que la dérivée de w' est identi- T1 quemenñt nulle, É Été que la forme que l’on déduit dewdela :, 2000 même façon que l’on déduit w” de w, a tous ses coefficients nuls. Mais 2 | Pr - -on peut le voir plus simplement en observant que la forme dérivée ‘5 d’un pa symbolique tel que 30 dAdz,, dx, 740 | ; 5 : | : 4308 | M Cr x CA : CS £:
est nulle, puisque tous les facteurs ont une forme dérivée identiquement nulle (formule 14). La condition énoncée est donc nécessaire. es | Pour prouver qu'elle est suffisante, nous n’avons qu’à généraliser la démonstration du n° 8, où le théorème énoncé a été établi pour les formes du second degré. Soit w une forme de degré quelconque p > 2 dont la dérivée est identiquement nulle, c’est-à-dire dont les coefficients vérifient, suivant la parité de p, l’un des deux systèmes de relations
A, DA, Ce rame see ++ Hu EU 10, | DA Vas ap 6 A, ap A es +1 RU DA RE ne ne en Xp+-1 &y ap
quelle que soit la combinaison d'indices (x,,4, .….,a,,,). Nous voulons démontrer qu'il existe une autre forme Q de degré p— 1 (et même une infinité)
DST ne For et ap 1% CE LP
dont la forme dérivée Q/ est identique à w. |
Nous le démontrerons en supposant que pest un nombre pair ; la démonstration serait toute pareïlle pour p impair. Considérons d’abord une forme de degré p à p + 1 variables, que nous écrirons, en modifiant un peu les notations du cas général,
o —À,dx,.… dx,,, + A,dæ,…. dx, ,,dæ, + + À 41d% +. da
la forme dérivée contient un seul terme qui est, p étant pair,
DA, , OA DA p+ (+ he re GORE RTE A ENS E |
et les conditions (15) se réduisent à une seule
DA4 ., DA» JA p+1 HAN, Anis. LR ] À — O (7) DT De (ae a dCp+1
hu 1 » l'O T De) 770) 7”. ‘ra De” A L TL x Lo LAIT PT GS ES SPF Se Nr ; ae eV Ex CTI DLL
