TA

4 ma On peut rs arbitrairement p — 1 des fonctions U;, et la | | dernière s'obtient par une quadrature.

= La proposition est donc établie pour une forme de degré p à p + 1 __ variables. Pour prouver qu’elle est générale, il suffira donc de 3 É montrer que, si elle est vraie pos une forme de degré pan—: Ë

variables, elle est encore vraie pour une forme de degrépàn

variables.

Soit w une forme de degré pair àpàn variables dont les coefficients À, vérifient les relations (15) pour toutes les com- 1% ... An é j

binaisons d'indices p à p. Il s'agit de prouver qu’il existe une forme de degré p— 1,

(20). ME Vie DU . ep 1%T ne dx telle que l'on ait, pour toutes les combinaisons d'indices, (21) 1 A re late D PER ape APE PP dx ox ne dx :

ap Cr Xp—1

Nous pouvons même supposer que la différentielle dx, ne figure pas dans 9, de telle sorte que tous les coefficients Ce ps où l’un des indices est égal à n, sont nuls.

En considérant les relations (21) où l’un des indices est égal à n,

où l’on a par exemple «,— n, on en tire

Han 1e Ap—1n TA En ?

et par suite

Ln , 5 Crus dre &p—1 = ES … ap in VER + LD A FE ap (Tir La y) Ln—1), CIS 3 L È £

4) étant une constante, et U Gus .…., Æn—1) une fonc-

Hilo ... Xp - 51 tion arbitraire des n — 1 AUS Lys +. Æn-1. Il reste à montrer

D de façon à satisfaire

que l’on peut choisir ces fonctions UE aux autres relations (21) où tous les indices sont inférieurs à n. Si, dans une de ces relations, on suppose tous les indices inférieurs à n, elle devient, en remplaçant les coefficients Ci; parles

expressions précédentes

oU OÙ ë É 2U | me GX v… Up—1 + A2 ... Xp de ApXy . .. An—9

H1X2 ... Un : pe À 2 , + un 1

Un . A. .… Xp—in LE A .… Xpn pa AS VA opt ... %p—Qn À dx . TC | S dx .….e dX : Ê HA) Xp Ca ; Ap—1 %Q

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