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CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIRFÉRENTIELLES. 109

ou, en tenant compte de la condition (15), où les indices sont

Lys Los …. œ... p? An, k = Die UD. @p ane pi au ap à —= à | .… dx ; 1%9 60 —— ER 2 Hilo &p dLCn | Rite 0E 2 | Eu = D : À oU

ApXi ... An—Q LEE > Xnp—1

On peut encore écrire cette condition

ii ap —1 px ap—92 ; Pa 1 ess ie re 1... Xp— (22) ee ae ap). ae ge dx HR EYE dR Rent 4 Are | 410 (3: DOSRRRE ER TX p=#1

et on a, pour déterminer les fonctions U;; ..;, un système d’équa-

tions tout à fait pareilles aux équations (21), où æ, a été remplacé

dans le premier membre par une constante à,. Or, si l’on prend

dans les conditions (15) le groupe formé par les conditions où ne figurent que les coefficients dont tous les indices sont inférieurs

à n, ce groupe de conditions exprime précisément que la forme w,

déduite dew, en y remplaçant x, par la constante a, et dx, par zéro, a une dérivée w', identiquement nulle. Le théorème que nous voulons démontrer étant supposé vrai pour une forme de degré p à n — 1 variables, les US (22) sont donc compatibles par rapport aux fonctions Er ras LA ap = , et pas conséquent le théorème est vrai aussi pour \ une foime de degré pèn

vari iables ,

La démonstration prouve même que, si les relations (15) sont

vérifiées, il existe une infinité de formes © de degré p — 1 ayant w pour forme dérivée, et dont les coefficients se déterminent par des

quadratures. Si l’on a obtenu une de ces formes Q, toutes les autres |

s’en déduisent immédiatement. En effet, si deux formes Q, 9, ont la même forme dérivée w, la différence a — Q, a une dérivée identiquement nulle, et par suite cette différence est la dérivée d’une forme 5 de degré p — 1. La réciproque est évidente. Si l’on a

dérivée, quelle que soit la forme de w de degré p — 1.

Les formes dérivées interviennent dans la généralisation de la for- “ans de Stokes. Soit w une forme symbolique de degré p ; l'intégrale I» — Jo, étendue à une multiplicité fermée E, d'ordre p de l’espace à n dimensions, est égale, d’après le théorème de Biokés généralisé, à une intégrale d'ordre p + 1 étendue à une multiplicité Mp41 à p + 1 dimensions limitée par Ep, et cette nouvelle intégrale est représentée par fw’, où &” est précisément la forme dérivée de w (1). Cette liaison entre les deux formes symboliques w, w explique bien pourquoi «/ est un covariant de w, car elle est évidemment indépendante du choix des variables. Elle explique aussi pourquoi la dérivée de w' est identiquement nulle. En effet, l’intégrale fw' étendue à une multiplicité Ep+1 peut être remplacée par l’intégrale fo étendue à la multiplicité E, qui limite Ep41. Il s’ensuit que l'intégrale [w' étendue à une HR fermée est nulle, puisque la multiplicité E, disparaît dans ce cas. Or l'intégrale fo’, étendue à une Cie fermée Ep+41 peut à son tour être remplacée par l'intégrale fo! (où w'” est la forme dérivée de «/) étendue à une multiplicité Ep+2, limitée par E)+1. Cette intégrale devant être nulle, quelle que soit la multiplicité Ep+2, il s’ensuit que la forme w'! est identiquement nulle. Inversement, si une forme w de degré p est telle

que l'intégrale fw étendue à une multiplicité fermée quelconque Ey-

est nulle, w est une forme dérivée. Car l'intégrale fu’ étendue à une RL quelconque Ep+41 doit être nulle, ce qu ne peut avoir lieu que si w’ est identiquement nul.

Les formes dérivées jouissent donc, dans la théorie des intégra-

les multiples d'ordre quelconque, des mêmes propriétés que les différentielles totales dans la théorie des intégrales curvilignes. Cette analogie justifie le nom de différentielles totales que leur a donné Poincaré ; pour éviter toute méprise, nous les appellerons différentielles totales symboliques.

REMARQUE: — Si dans une forme dérivée on remplace l’une des variables par une constante, et la différentielle correspondante par zéro, la forme à n—1 variables obtenue estencore une différentielle totale symbolique. En effet si l’on fait parexemplex, = C, dx, —0, la forme obtenue ne renferme plus que les termes

DRE NS PRE PAL PR .... dx,»

(!) Je renverrai pour la démonstration aux travaux cités de Poincaré. On suppose, bien entendu, que tous les coefficients de la forme w, ainsi que leurs dérivées, sont continus dans un domaine renfermant les multiplicités dont il est question dans l'énoncé. Voir, sur ce sujet, plusieurs Mémoires de M. Buuz dans les Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse (1912-1918).

… LL. hd re cite LR 48 CC DEN SRE): PT SUD NAT) PAR D EN LL | Pen 7 en 7 Me Nes 3 es G ei ra Fer ME UE € Led En s,: ;e ; PU