CHAPITRE HI. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

qui est de forme canonique dye — My — (y3 — Xyidyi = 0.

Les intégrales M; sont représentées par les formules

Er Jp hu do. D a Ne OUI MN CR Er = + Pre) y2 p(y1; Y3) | Dys y3 Du: Ur us ,

et par d’autres formules qu'il serait facile d’écrire (n° 145). Si les équations ow, —0, ..,«,—0o forment un système complète-

ment intégrable, ce système est SEE à p équations dfi = 0, .; dfn = 0, et l'équation symbolique peut s’écrire. dfdfs … dfp = 0:

Toute solution s’obtient en établissant une relation au moins entre

fo fs .….)fp. L’équation de Pfaff SRE PES ds +. + ldfp = 0

conduit bien au même résultat. “4

On reviendra plus loin sur ce sujet (n° 32)

28. Les formes de degré n —1.— Revenons au cas d’une forme w de degré nñ— 1 à n variables. Si l’on prend un nouveau

système de variables indépendantes (y,, Y ne os té" UE ts Us di S0ient.n intégrales indépendantes de l'équation Podf ="; LE dernière variable y, restant quelconque et distincte des

premières, w se change en une nouvelle forme symbolique 5, divi-

sible par dy,dy: ….. ne D et qui par hits ne contient qu'un

terme

5 — = Kdy,dy su dyn-4-

Si le facteur K ne dépend que de y,, ys, ..., y, 1etest indépen- |

dant de y,, on peut prendre / Kdy, pour nt à la place de y,

et l'expression précédente devient

Lorsque le facteur K contient y,, on peut prendre ce facteur K lui-même pour la dernière variable y,, et l’on a alors

sy dyidys …. dyss. | En résumé, toute forme symbolique de degré n — I à n variables peut, Por un choix convenable des variables indépendantes, être ramenée à l'une des deux formes A |

(1) à dyidys … 3 PES | QD £ Yhdyà S gi es Il est aisé de savoir a priori quelle est celle des deux expres-

sions qui convient à une forme donnée w. En effet, la forme réduite (1) a une dérivée nulle, tandis que la forme réduite (ID) a pour dérivée dy,dy, ... dy,,. La forme w peut donc être ramenée à la forme Éd (1) lorsque sa dérivée est nulle, et à la forme (11) dans le cas contraire. |

Considérons encore une forme w de degré n — 2 à n variables. Si w | n’est pas une différentielle totale symbolique, sa dérivée w/ est une ee

forme d’ordre n— 1 à n variables, et par conséquent on peut l'écrire, avec un choix convenable des variables indépendantes,

w! — GTR SRE TRAD Les deux formes w et y,d7y, … dy, , ayant la même forme déri-

vée, leur différence est la dérivée 9 d’une forme à de degré n—3, et la forme w a pour expression

On remarquera l’analogie de cette expression avec la forme réduite d’une forme de Pfaff à trois variables. :

R9. Multiplicateurs d’une forme. — On peut aussi étendre aux formes symboliques la théorie du facteur intégrant. Soit w une forme symbolique de degré p ; une fonction x des variables indépendantes 2,, x,, …, æ&, est un multiplicateur ou un facteur intégrant pour vw si le produit uw est une différentielle totale symbolique. Pour que u soit un facteur intégrant, il faut et il suffit que l’on ait identiquement

(po) = po + (dp)o— 0.

En égalant à zéro les coefficients des différents termes de la forme (uw) développée, on a un système d'équations linéaires (mais non homogènes) par rapport aux dérivées partielles du premier ordre de la fonction À — log x. Ces équations doivent être

compatibles pour qu’il existe un facteur intégrant pour w, S'il en. est ainsi, l'intégrale générale de ce système est de la forme

RAR De NA ere mr

où À, est une intégrale particulière, F une fonction arbitraire et