CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

Jan Pos vs fa les q intégrales distinctes du système linéaire et homogène que l’on obtient en supprimant les termes indépendants de À dans les équations qui déterminent À. Mais, d’après la façon même dont on obtient ces équations, f,,f2,..….,fq Sont précisément des intégrales du système que l’on obtient en écrivant que le produit symbolique wdf est identiquement nul.

S'il n'existe pas de fonction f satisfaisant à cette condition, la forme w admet au plus un facteur intégrant qui s'obtient par une quadrature. S'il ya une infinité de facteurs intégrants distincts, la forme w est égale à un produit symbolique

o = Qdf,df, .… dfg

et l'expression générale des facteurs intégrants est

= Mie +. fa)

Il désignant une fonction arbitraire. Le produit ww peut s'écrire comme produit symbolique |

| po = + COLE 10) dfidfs +. dfa

or Idf,df, … df, est une différentielle totale symbolique. Il faudra donc que le produit y, soit aussi une différentielle totale symbolique.

On voit que, dans le cas où w admet plusieurs facteurs intégrants distincts, l'équation v — o admet des intégrales à n — 1 dimensions ; si pu, et , sont deux facteurs distincts, l'équation — C

pa représente une famille d'intégrales de cette espèce.

Les formes pour lesquelles le facteur intégrant a le plus haut degré de généralité possible sont les formes représentées symboliquement par un produit de différentielles totales tel que. Kdf;... df,. Il en est ainsi, en particulier, si p—n— 1, et l’on est ainsi amené à la théorie du dernier multiplicateur de Jacobi.

Soit comme plus haut

w — À,dzx, … de, + À,dx, … dx, dx, +... + À dx, …. dx

l'équation qui exprime que po est une différentielle totale symbo-

lique est différente, suivant la parité de n. Si n est LeRat cette condition est |

d(uA:) J(4A:) O(UA») - DL as dL2 RES En Ah.

et, si nest pair,

o(uA;) 2(pAo)

+ .:. dei)

Dans le premier cas, u est un multiplicateur pour le système d'équations différentielles dont l'intégration donne les intégrales de l'équation wdf— o. Dans le second cas, u est un multiplica-

teur pour le système | ss dxs ST Aie dE dx, :

A: 1% Pr. A» TE A3 a A» ?

qui doit remplacer le précédent. | On voit immédiatément, d’après cela, que la connaissance de

n — 2 intégrales de l'équation wdf — o et d’un multiplicateur permet d'achever l'intégration par une quadrature. Supposons en effet que l’on ait effectué un changement de variables de façon que Ya Yos ve Une soient les n — 2 intégrales connues ; si L est un pre mo est une différentielle totale res qui, __après le changement de variables, prend la nt

po — dy,dy, ee dy (B, dy, & B,dy,).

Pour que la dérivée de uw soit nulle, il est nécessaire que l’on ait | te

et en posant

2 = fr, dy, + B,dy,,

on a aussi | Lo = dy, …. - dy,-2ds ; ;

g est de une nouvelle intégrale de l’é he Ur =,